Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 187ist der Drehimpuls konstant.Sei nun d dieser zeitunabhängige Drehimpuls. Ist d = θ, dann sind r und ṙ linear abhängigund die Bewegung des Massenpunktes findet auf einer Geraden statt. Ist d ≠ θ, folgt aus=< r,r× ṙ>=0, daß der Massenpunkt sich ständig in einer Ebene befindet, dieorthogonal zu d ist. Es liegt also eine ebene Bewegung vor. Für die Planetenbewegungbedeutet dies, daß die Planeten sich in einer Ebene durch den Nullpunkt, in dem die Sonnesich befindet, bewegen. Wählt man nun diese Ebene als die Ebene z =0, so erhalten wirFühren wir die Polarkoordinaten gemäßein, dann zeigt eine einfache Rechnungxẏ − yẋ = d 0 , (d 0 eine reelle Konstante)x(t) =a(t)cosφ(t),y(t) =a(t)sinφ(t)a(t) 2 ˙φ(t) =d0 .Da die Fläche F (t 1 ,t 2 ), die der Bewegungsstrahl in dem Zeitintervall [t 1 ,t 2 ] überstreicht,durch∫ t 2F (t 1 ,t 2 )=1/2 a(t) 2 ˙φ(t)dt = 1/2(t2 − t 1 )d 0t 1gegeben ist, ergibt sich der Flächensatz: In einem Zentralfeld überstreicht der Radiusvektorder Bewegung in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Durch eine genauere Analyseerhalten wir für die Planetenbewegung die sogenannten Keplerschen Gesetze:1. Keplersches Gesetz Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in derem einem Brennpunktdie Sonne ist.2. Keplersches Gesetz Der von der Sonne zu einem Planeten weisende Radiusvektorüberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen,3. Keplersches Gesetz Das Verhältnis zwischen dem Quadrat der Umlaufzeit und demKubus der großen Achse (der Bahnellipse) ist für alle Planeten des Sonnensystemsgleich.Die beiden ersten Gesetze veröffentlichte Johannes Kepler (1571 – 1630) 1609, das dritte 1619.Er schloß damit eine Etappe der Revolution in der Astronomie aufbauend auf die Arbeiten vonKopernikus und Tycho Brahe ab. Newton konnte diese empirisch aufgestellten Gesetze aus seinemGravitationsgesetz in strenger mathematischer Beweisführung ableiten. Die von ihm gefundeneDifferential– und Integralrechnung spielte als Hilfsmittel eine überragende Rolle.Wichtige Eigenschaften des Raumes der physikalischen Bewegungen sind seine Homogenität(“er sieht überall gleich aus“) und seine Isotropie (“alle Richtungen sind gleichberechtigt“).Für die Zeit gibt es eine Ordnung der Zeitpunkte in früher bzw. später,Vergangenheit und Zukunft. Faßt man den momentanen Ort eines Teilchens und denZeitpunkt, zu dem dieser Ort angenommen wird, zu (x, t) ∈ IR 3 × IR zusammen, so spricht