Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 186Bisher hatten wir den vorliegenden Körper als Massenpunkt (ohne Ausdehnung) betrachtet.Bei ausgedehnten Körpern ist die Annahme, daß die Kräfte alle an demselben Punktangreifen, nicht zu halten. Wir sehen von Deformationen ab und betrachten nun einensogenannten starren Körper. Die angreifenden Kräfte können nun neben beschleunigtenParallelverschiebungen auch Drehungen bewirken. Für ihre Beschreibung treten andie Stelle von Kraft, Masse, Beschleunigung die Begriffe Drehmoment, Trägheitsmoment,Winkelbeschleunigung.In einem Punkt P eines Körpers mit Ortsvektor r := OP−→greife eine Kraft an. Der Körperwerde in O festgehalten. Dann heißtD P := r × Kdas (resultierende) Drehmoment. An die Stelle von mb = K tritt nunΘ ˙ω = D.Hierbei ist Θ das Trägheitsmoment, ω die Winkelgeschwindigkeit um eine fest gewählteAchse, ˙ω die Winkelbeschleunigung und D die Summe aller Drehmomente. (Das Trägheitsmomenteiner punktförmigen Masse in Bezug auf den Ortsvektor r := OP−→ ist Θ = m|r| 2 .)Betrachten wir etwa eine (masselose) Stange, an der an den Enden im Abstand r 1 bzw.r 2 vom Auflagepunkt Massen m 1 bzw. m 2 angebracht sind. Damit sich die Stange nichtum ihren Auflagepunkt dreht, müssen die Drehmomente entgegengesetzt gleich sein. Diesbedeutet in eindimensionaler Betrachtung:r 1 m 1 g = r 2 m 2 g oder r 1 m 1 = r 2 m 2Hierbei ist g die Gravitationskonstante.Also dreht sich die Stange nicht, wenn die Stange im Schwerpunkt unterstützt wird. Erteilt die Stange im Verhältnis r 1 : r 2 = m 2 : m 1Betrachten wir nun als Beispiel die Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralfeld.Als Anwendung kann man sich dann die Bewegung eines Planeten um die Sonne vorstellen.Weist jeder Vektor K(x, y, z) eines Kraftfeldes K im Raum IR 3 auf ein und denselbenPunkt θ, so nennen wir das Kraftfeld K ein Zentralkraftfeld. Dies bedeutet, daß wirK(x, y, z) =f(x, y, z)(x, y, z) , (x, y, z) ∈ IR 3 \{θ}haben mit einer Funktion f : IR 3 \{θ} −→ IR .Unter dem Einfluß einer solchen Kraft möge nun ein Punkt mit Masse m sich bewegen.Sind r(t) :=(x(t),y(t),z(t)) die Koordinaten zur Zeit t, dann ist nach dem NewtonschenKraftgesetzm(ẍ(t), ÿ(t), ¨z(t)) = f(x(t),y(t),z(t))(x(t),y(t),z(t)) .Daraus folgt (ohne Argumente) fr× r = mr × ¨r,und da r × r verschwindet, erhalten wirdie Gleichung r × ¨r = θ. Da offenbar d (r × ṙ) =r × ¨r +ṙ × ṙ = r × ¨r gilt, muß also diedtAbleitung von r × ṙ verschwinden und somit r × ṙ dauernd konstant sein. Dies zeigt, daßder Drehimpuls mr × ṙ konstant ist. Dies ist ein wichtiges Ergebnis: In einem Zentralfeld2