Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 184Beispiel 7.36Betrachte die Schwingung einer an einer Feder aufgehängten Masse.Es bezeichne x(t) die Auslenkung der punktförmigen Masse aus der Ruhelage zur Zeit t.Aus einem Hauptsatz der Newtonschen Mechanik folgtmx ′′ (t) =f(t) (7.2)wobei m die Masse ist und f(t) die Gesamtheit der zur Zeit t auf die Masse wirkendenKräfte darstellt. Nach dem Hookschen Gesetz ist die Rückstellkraft f h (t) derFederzurZeit t gegeben durchf h (t) =−cx(t)wobei c>0 die sogenannte Federkonstante ist. Wird auch die Reibungskraft f r (mit Luft,in einem Ölbad,...)berücksichtigt, so ist ein modellhafter Ansatzf r (t) :=−2dx ′ (t)wobei x ′ (t) für die Geschwindigkeit zur Zeit t steht und 2d >0 eine Reibungskonstanteist, die wir zweckmäßigerweise zu 2d angesetzt haben. Damit bekommt man aus (7.2)mx ′′ (t) =f h (t)+f r (t) =−cx(t) − 2dx ′ (t) , (7.3)alsox ′′ (t)+2dx ′ (t)+cx(t) =0. (7.4)Dabei haben wir die Masse nun der Einfachheit halber auf den Wert 1 gesetzt.(7.4) ist nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die wir durch Einführung derAuslenkung z 1 := x und der Geschwindigkeit z 2 := x ′ als Variablen in ein System umschreiben:( )0 1z ′ = Az mit A =. (7.5)−c −2dNun haben wir die Beobachtung, daßz(t) :=e λt z 0 ,t∈ IR ,eine Lösung des Systems (7.5) ist, falls λ ∈ IR ein Eigenwert von A und z 0 ein Eigenvektordazu ist. Dies folgt aus:z ′ (t) =λe λt z 0 ,Ae λt z 0 = e λt Az 0 = e λt λz 0 .Aus ∣ ∣∣∣∣ λ −1c λ+2d ∣ =0folgtλ 1/2 = −d ± √ d 2 − c.NunhatmandreiFälle zu unterscheiden:Fall 1: d 2 − c>0 .Hier haben wir zwei verschiedene Eigenwerte und wir erhalten dazu die zwei Lösungenz 1 (t) :=e λ 1t z 0,1 ,z 2 (t) :=e λ 2t z 0,2 ,