Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 183der Ortsvektor der Bewegung, wobei O als Koordinatenursprung angenommen wird. DerGeschwindigkeitsvektor ist definiert als zeitliche Veränderung des Ortsvektors:Der Beschleunigungsvektor istv(t) :=ṙ(t) := d dt r(t) .b(t) := ˙v(t) := d dt v(t) .(Die Notation ṙ, ˙v ist von den Physikern “geliehen“.) Der Geschwindigkeitsvektor v isteigentlich ein Tangentialvektor an die Bahnkurve t ↦−→ r(t) und liegt daher im Tangentialrauman die Mannigfaltigkeit der Ortsvektoren an der Stelle r. Hier können wir aberzunächst noch diesen Tangentialraum mit IR 3 identifizieren, in allgemeiner Situation hatman auf die Theorie der Mannigfaltigkeiten zurückzugreifen.Eine Einwirkung auf einen Massenpunkt, die eine Bewegung hervorrufen kann, bezeichnetman als Kraft. Eine Kraft K besitzt einen Angriffspunkt, hat eine Größe und eineRichtung. (Eine besonders offensichtlicher Fall einer Krafteinwirkung ist die Schwerkraft:Jeder Körper erfährt auf der Erdoberfläche eine Krafteinwirkung nach unten, nämlich seinGewicht. Damit kann eine Krafteinheit (Kilopond) festgelegt werden. Außer der Schwerkraftgibt es elektrische , magnetische, ... Kräfte.)Die gleichförmig geradlinige Bewegung ist eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.Bezugssysteme (Koordinatensysteme), in denen alle kräftefreien Bewegungen einesKörpers geradlinig sind, heißen Inertialsysteme. In solchen Inertialsystemen hat dasNewtonsche Gesetz der Mechanik die Formmb = K.Hierbei ist der Skalar m die Masse des Körpers, ein Maß für die Trägheit (Beharrungsvermögen)des Körpers. Die Masseneinheit ist die Masse des Archivkilogramms, die Masseder Volumeneinheit eines homogenen Körpers wird Dichte genannt. K kann eine Funktionvon (t, r, v) sein.Statt mb = K kann man auch schreibend(mv) =K.dtIn dieser Form ist das Gesetz auch gültig bei veränderlicher Masse, etwa bei der Beschreibungder Bewegung einer treibstoffverbrennenden Rakete. Die Größe P := mv heißtImpuls oder Bewegungsgröße. Wenn also keine Krafteinwirkung vorliegt, bleibt der Impulskonstant.Isaac Newton (1643 – 1727) gibt in seiner Arbeit “Philosophia naturalis pricipia mathematica“ eineaxiomatische Grundlage der klassischen Mechanik. Sie enthält das Gravitationsgesetz, das Gesetz,nach dem ein Apfel zur Erde fällt und das den Mond auf seiner Bahn um die Erde hält. SeinAktionsprinzip lautet so: Die auf eine Zeiteinheit bezogene Änderung der Bewegungsgröße ist derEinwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in der Richtung, in der jene Kraftangreift.I. Newton und G. W. Leibniz (1646 – 1716) “fanden“ die Differential– und Integralrechnung fastgleichzeitig und unabhängig voneinander.