Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 12Die Abbildung g aus (c) in Satz 1.16 ist eindeutig bestimmt, denn ist g ′ : Yweitere Abbildung mitg ′ ◦ f = id X ,f ◦ g ′ = id Y ,dann folgtg = g ◦ id Y = g ◦ (f ◦ g ′ )=(g ◦ f) ◦ g ′ = id X ◦ g ′ = g ′ .Dies führt zu−→ X eineDefinition 1.17Sei f : −→ Y eine bijektive Abbildung. Dann heißt die nach Satz 1.16 existierendeAbbildung g : Y −→ X mit g ◦ f = id X ,f ◦ g = id Y die Umkehrabbildung vonf. Wir schreiben dafür f −1 .2Nun haben wir zweimal das Symbol f −1 erklärt. Dies sollte jedoch keine Schwierigkeitenbereiten, da aus dem Zusammenhang heraus wohl immer klar wird, ob die Umkehrabbildungoder eine spezielle Urbildmenge gemeint ist.Mit Abbildungen können wir auch die Elemente einer Menge zählen. Als VorbereitungSatz 1.18Sei A eine Menge, seien n, m ∈ IN , und seien φ : A −→ IN n ,ψ: A −→ IN mbijektiv. Dann gilt n = m.Beweis:Wir beweisen mit vollständiger Induktion die AussageZu n ∈ IN gibt es für 1 ≤ m