Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 181Sind x, y ∈ IR 3 linear unabhängig und ist x × y das zugehörige Vektorprodukt, dann istx, y, x × y eine positiv orientierte Basis von IR 3 (e 1 ,e 2 ,e 3 ist als positiv orientierte Basisfestgelegt).Da das Vektorprodukt auch linear in jedem Argument sein soll, muß dann notwendigerweisegelten:e 1 × e 2 = e 3 ,e 2 × e 3 = e 1 ,e 3 × e 1 = e 2 .Definition 7.34Sei IK ein Körper. Unter dem Vektorprodukt x × y von x, y ∈ IK 3,1 versteht manden Vektor⎛⎞x 2 y 3 − x 3 y 2⎜⎟x × y := ⎝ x 3 y 1 − x 1 y 3 ⎠ ∈ IK 3,1 .x 1 y 2 − x 2 y 12Das Bildungsgesetz läßt sich leicht merken, indem man die Entwicklung einer Determinantenach einer Spalte in sehr formaler Weise verwendet:x × y :=∣e 1 x 1 y 1e 2 x 2 y 2e 3 x 3 y 3∣ ∣∣∣∣∣∣:= e 1 ∣ ∣∣∣∣ x 2 y 2x 3 y 3∣ ∣∣∣∣− e 2 ∣ ∣∣∣∣ x 1 y 1x 3 y 3∣ ∣∣∣∣+ e 3 ∣ ∣∣∣∣ x 1 y 1x 2 y 2∣ ∣∣∣∣.Bei der Einführung des Vektorprodukts haben wir Spaltenvektoren verwendet. Es ist klar,daß wir damit auch ein Vektorprodukt in IK 3 zur Verfügung haben. Diesen Standpunktnehmen wir nun ein und unterscheiden in diesem Zusammenhang nicht zwischen Spaltenvektorenund Tupeln.Unter Verwendung des euklidischen Skalarprodukts < ·, · > in IR 3 b haben wir folgendeRechenregeln:(R1) x × y = −y × x, x× x = θ.(R2) (ax + by) × z = ax × y + by × z.(R3) x × (ay + bz) =ax × y + bx × z.(R4) x × (y × z) =y− z.(R5) x × (y × z)+y × (z × x)+z × (x × y) =θ.(Grassmann – Identität)(Jakobi – Identität)(R6) = det((x|y|z)) .(R7) =< y,x× y>=0.( (R8) |x × y| 2 = |x| 2 |y| 2 − 2 =det )(R9) |x × y| = |Ax × Ay| für A ∈O(3).