Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 180gilt. Welche Orientierung als positiv ausgezeichnet wird, ist willkürlich.Definition 7.31Zwei geordnete Basen {x 1 ,...,x n }, {y 1 ,...,y n } im IR – Vektorraum X heißengleich–orientiert, falls det(A) > 0 für die Übergangsmatrix A gilt.2Die Relation “gleich–orientiert“ ist eine Äquivalenzrelation. Die Eigenschaften Reflexivität,Symmetrie, Transitivität folgen ausdet(E) =1, det(A −1 )=det(A) −1 , det(AB) =det(A)det(B).Die Klasseneinteilung ist einfach; sie führt auf zwei Klassen. Wiederum ist es willkürlich,welche Klasse von geordneten Basen als positiv orientiert bezeichnet wird. Beachte, daßes wirklich auf die Reihenfolge in der Angabe der Basis ankommt: Bei Vertauschung vonzwei Basiselementen wechselt die Basis die Klasse.Beispiel 7.32Sind in IR 3 die beiden Basen {e 1 ,e 2 ,e 3 } und {e 1 ,e 1 + e 2 ,e 1 − e 3 } gleichorientiert?Die Übergangsmatrix ist⎛⎞1 1 1⎜⎟A := ⎝ 0 1 0 ⎠0 0 −1und damit det(A) =−1 < 0. Also sind die Basen nicht gleichorientiert. 2Definition 7.33Einen endlich–dimensionalen IR – Vektorraum mit einer in ihm gewählten Orientierung,d.h. mit einer als positiv ausgezeichneten Klasse von Basen, nennt man einenorientierten Raum.2Man löse ein Etikett von einer Thunfischdose ab, gebe dem Papierstreifen eine halbe Drehung undklebe ihn so zusammen, daß die blanke Innenseite nahtlos in die beschriftete Außenseite übergeht.Auf diese Weise bekommt man ein Möbiusband mit all seinen seltsamen Eigenschaften. Erstens,das Möbiusband hat nur eine Seite. Man entdeckt dies, wenn man versucht, das Möbiusband aufeiner Seite rot und auf der anderen Seite blau zu färben. Zweitens, man kann es nicht teilen,wenn man es entlang der Mittellinie durchschneidet. Drittens, es ist nicht orienterbar. Man siehtdies, wenn man ein kleines Koordinatenkreuz entlang der Mittellinie über das Möbiusband schiebt:Wenn man einmal rum ist, kommt das Koordinatenkreuz nicht zu Deckung.Dieses aufregende (topologische/geometrische) Objekt wurde von A.F. Möbius (1790 – 1868) entdeckt.Wir führen nun ein Vektorprodukt, d.h. ein “Produkt“ von zwei Vektoren, das wieder einVektor ist, so ein, daß gilt: