Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 178Jedes Polynom vom Grad n ≥ 1 besitzt genau n Nullstellen in ′Cwieder ins Spiel (siehe Abschnitt 3.3). Liegt also der Skalarkörper ′C vor, dann haben wirn := deg(χ L) Nullstellen des charakteristischen Polynoms und das Problem, genügendviele Eigenvektoren zu finden (siehe Lemma 5.7 und Lemma 5.1), scheint zumindest prinzipiellgelöst. Leider führt uns Lemma 5.7 nur dann zu einer Basis von Eigenvektoren inX, wenn die Eigenwerte paarweise verschieden sind. Hier ist wieder der zentrale Punktder Theorie diagonalisierbarer Abbildungen erreicht.Der Satz von Cayley – Hamilton erhält nun eine allgemein gültige Fassung.Satz 7.28Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei L : X −→ X IK – linear.Ist χ Ldas charakteristische Polynom von L, sogiltχ L(L) =Θ.Beweis:Sei n := dim IK X und sei A irgendeine Matrixdarstellung von L.Sei p(λ) :=det(λE − A) =a 0 + a 1 λ + ...+ a n−1 λ n−1 + λ n ,λ∈ IK .Sei für λ ∈ IK B # (λ) =(b ji (λ)) i=1(1)n , j =1(1)n die zu λE − A komplementäre Matrix.Jeder Eintrag b ji (·) stellt ein Polynom dar und hat höchstens Grad n − 1; dies folgt ausder Definition der algebraischen Komplemente. Also können wir B # (λ)mitC 0 ,...,C n−1 ∈IK n−1,n−1 so hinschreiben:Nach Definition des Komplements giltB # (λ) =C 0 + C 1 λ + ···+ C n−1 λ n−1 .(λE − A) B # (λ) =det(λE − A)E.Ein Koeffizientenvergleich liefert die Gleichungen−AC 0 = a 0 E,−AC 1 + C 0 = a 1 E,...,−AC n−1 + C n−2 = a n−1 E,C n−1 = E.Indem man hier die k-te Gleichung mit A k multipliziert (k =0,...,n) und die Ergebnisseaddiert, kommt man zur BeziehungΘ = a 0 E + a 1 A + ...+ a n−1 A n−1 + A n = p(A).Nun ist auch klar, wie das Minimalpolynom eines Endomorphismus L, losgelöst von derAnnahme, daß L split über dem Skalarkörper ist, definiert werden kann. Es existiert janun offensichtlich ein Polynom p kleinsten Grades mit p(L) =Θ.