Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 177Kommen wir nun zur Definition des charakteristischen Polynoms in einer allgemeinenSituation (siehe Definition 5.26).Definition 7.24Das Polynom χ A(λ) :=det(λE−A) heißt charakteristisches Polynom der MatrixA =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)n.Der Koeffizient a 11 + ...+ a nn von λ n−1 in χ Aheißt Spur von A.2Ist nun A ∈ IK n,n eine Matrixdarstellung einer IK –linearen Abbildung L, dannistχ Avonder speziellen Matrixdarstellung gar nicht abhängig, da eine andere Matrixdarstellungdazu ähnlich ist. Daher ist sinnvoll:Definition 7.25Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum und sei L : X −→ X IK – linear.Das Polynom χ L, definiert durch χ L(λ) :=χ A(λ) ,λ∈ IK , wobei A eine Matrixdarstellungvon L ist, heißt das charakteristisches Polynom von L.2Bemerkung 7.26Bei ähnlichen Matrizen stimmen die charakteristischen Polynome offenbar überein. DieUmkehrung gilt nicht, wie man an folgendem Paar nichtähnlicher Matrizen erkennt:A :=(0 00 0),B:=(0 10 0Beide Matrizen haben als charakteristisches Polynom das Polynom p(λ) :=λ 2 . 2).Folgerung 7.27Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum und sei L : X −→ X IK – linear.λ ∈ IK ist genau dann Eigenwert der IK – linearen Abbildung L : X −→ X,wennλ Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ Lvon L ist.Beweis:Satz 7.23.Kennt man einen Eigenwert λ eines Endomorphismus L : X −→ X (dim IK X endlich),dann berechnet man einen Eigenvektor, indem man eine Basis von X wählt, die zugehörigeMatrixdarstellung A von L ermittelt, einen (Koordinaten–)Vektor a in Kern(λE − A)berechnet und diesen mit Hilfe der Koordinatenabbildung k X zu einem Vektor x ∈Kern(λid X − L) macht (siehe Beweis zu Satz 7.23).Das Hauptproblem liegt also im Auffinden von Eigenwerten von Matrizen. Hierzu sindnach Folgerung 7.27 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms aufzufinden. Damitkommt nun der Fundamentalsatz der Algebra