Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 175Allerdings hat diese Basis gegenüber der Basis der Newtonpolynome zwei Nachteile: Erstensist die Auswertung der Lagrangepolynome nicht sehr stabil, zweitens hat man dieBasis komplett neu aufzustellen, wenn etwa ein Datenpunkt t n+1 ,y n+1 neu hinzukommt.Die Darstellung des Interpolationspolynoms durch die Lagrangepolynome eignet sich abersehr gut für theoretische Überlegungen (Fehlerabschätzung, Entwurf von Quadraturformeln).2Ein Schwerpunkt der Gaußschen Beiträge zur numerischen Mathematik liegt in der Interpolationund der Integration. Am 25.11.1796 steht in seinem Tagebuch die Eintragung“’Formula interpolationis elegans“womit wahrscheinlich die Interpolationsformel von Lagrange gemeint ist.7.4 Determinante von EndomorphismenNun übertragen wir die Determinantenfunktion in naheliegender Weise auf Endomorphismen.Definition 7.22Sei X ein IK –Vektorraum mit Basis Φ X = {x 1 ,...,x n } und sei L : X −→ XIK – linear. Wir setzendet(L) :=det(A L ) ,wobei A L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Basis Φ X ist.2Damit die obige Definition sinnvoll ist, ist zu zeigen, daß det(L) nichtvondergewähltenBasis abhängt. Dies ist aber mit Bemerkung 4.33 sofort klar, da sich Matrixdarstellungenvon L nur bis auf Ähnlichkeit unterscheiden, d.h.:Ist A ′ L die Darstellung von L bzgl. einer weiteren Basis Φ ′ X, dann gibt es eine invertierbareMatrix S mitA ′ L = S −1 A L S.Also ergibt der MultiplikationssatzDies war zu zeigen.det(L) =det(S −1 A L S)=det(S −1 )det(A L )det(S) =det(L) .