Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 174ist. Dieses Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung, da die Determinante von A nichtverschwindet, denndet(A) =det(A(t 1 ,...,t n )) =∏1≤i1) Zeile hat. Mit Regel (D13) folgt⎛⎛t 2 − t 1 t 2 (t 2 − t 1 ) ··· t n−2 2 (t 2 − t 1 )det(A(t 1 ,...,t n )) = det ⎜⎜⎝⎝..t 2 − t 1 t 2 (t 2 − t 1 ) ··· t n−2 2 (t 2 − t 1 )⎞⎞⎟⎟⎠⎠Die Behauptung folgt also mit Induktion.= (t 2 − t 1 )(t 3 − t 1 ) ···(t n − t 1 )det(A(t 2 ,...,t n )) .Zur Berechnung der Lösung der Interpolationsaufgabe eignet sich das obige Gleichungssystemnicht sehr gut, da die Matrix A(t 1 ,...,t n ) vollbesetzt ist. Dies liegt daran, daßdie Monome 1,t,t 2 ,...,t n−1 keine problemangepaßte Basis des n–dimensionalen RaumsP IK ,n−1 darstellen. Eine geeignetere Basis (“Basis der Newtonpolynome“) ist1,t− t 1 , (t − t 1 )(t − t 2 ),...,(t − t 1 ) ···(t − t n−1 ) .Das Gleichungssystem wird dann zu A N x = y mit⎛⎞1 0 ··· 01 t 2 − t 1 0 ··· 0A N :=... . ..⎜⎝ 1 0⎟⎠1 ··· (t n − t 1 ) ···(t n − t n−1 )Dieses Gleichungssystem kann nun allein durch Vorwärtselimination gelöst werden.Eine in dieser Beziehung noch günstigere Basis ist die Basis der “Lagrange–Polynome“:l j (t) :=n∏k=1,k≠j(t − t k )(t j − t k ) , 1 ≤ j ≤ n.Hierzu gehört dann ein Gleichungssytem, das durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird,also sehr einfach auflösbar ist. In dieser Basis hat das Interpolationspolynom die Darstellung(Lagrangessche Interpolationsformel)n∑p(t) = y i l i (t) ,t∈ IR .i=1