Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 170Aus der Formeldet(A) = ∑für eine Matrix A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)nableiten. Dies geht so:det(A t ) = ∑σ∈S nɛ(σ)a σ(1),1 ···a σ(n),nkann man die Regel det(A t )=det(A) auchɛ(σ)a 1,σ(1) ···a n,σ(n)σ∈S n= ∑ɛ(σ −1 )a σ −1 (1),1 ···a σ −1 (n),nσ∈S n= ∑ɛ(σ ′ )a σ ′ (1),1 ···a σ ′ (n),1σ ′ ∈S n= det(A)2Satz 7.15Für A ∈ IK n,n sind äquivalent:(a) A ∈ GL n (IK ) .(b) det(A) ≠0.Zusatz: Ist A ∈ GL n (IK ), dann gilt det(A −1 )=(det(A)) −1 .Beweis:(a) =⇒ (b) und der Zusatz folgen aus E = AA −1 mit dem Multiplikationssatz.Zu (b) =⇒ (a). Aus det(A) ≠0folgtrg(A) =n, d.h.A ist invertierbar.Erinnert sei nun an die spezielle orthogonale GruppeSO(n) :={A ∈O(n)| det(A) =1}wobei O(n) :={A ∈ IR n,n |A t A = AA t = E} die orthogonale Gruppe ist. Aus den obigenErgebnissen folgt sofort, daß SO(n) mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung eineGruppe ist.Definition 7.16Sei A =(a 1 | ...|a n ) ∈ IK n,n . Wir setzena # ij := det((a 1 | ...|a j−1 |e i |a j+1 | ...|a n )) , 1 ≤ i, j ≤ n,und nennen a # ij die algebraischen Komplemente von A. Die damit aufgebauteMatrix A # := adj(A) := ( a # )jiheißt die zu A komplementärei=1(1)n , j =1(1)nMatrix oder Adjunkte.2