Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 169Nur der Beweis der zweiten Formel ist zu erbringen, die erste Formel folgt aus der Tatsache,daß det(A) =det(A t ) gilt (siehe (D11)).Sei A =(a 1 | ...|a n ) in Spaltenform gegeben. Dann wissen wir, daß mit der Standardbasise 1 ,...,e n in K n,1 gilt: a j ∑= n a i,j e i , 1 ≤ j ≤ n. Die Multilinearität (D1) von det lieferti=1det(A) =n∑ n∑... a i1 ,1 ···a in,n det((e i 1| ...|e in ))=i 1 =1 i n=1a σ(1),1 ···a σ(n),n ɛ(σ)σ∈S nwobei wir auch (D8) verwendet haben.Beispiel 7.12Mit Regel (D14) berechnet mand 3 :=∣∣a 11 a 12 a ∣∣∣∣∣∣ 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33nach folgender Formel:d 3 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31Hierzu hat man lediglich die Kenntnis von S 3 einzubringen.DieFormel,dieauchRegel von Sarrus heißt, kann man sich leicht merken durch folgendeStütze:Man schreibt den ersten und zweiten Spaltenvektor der Matrix hinter die drei Spalten derMatrix; die drei Produkte der Hauptdiadonalen ergeben die positiven Summanden, diedrei Produkte der Nebendiagonalen ergeben die Summanden mit dem negativen Vorzeichen.2Bemerkung 7.13Man sollte nicht der Versuchung unterliegen, die Formeln aus (D14) als effektive Methodezur Berechnung einer Determinante anzusehen: Bei der Auswertung fallen n!(n−1) (teuere)Multiplikationen an, abgesehen von den (etwas billigeren) Additionen. 1 Die Methodeder Wahl zur Berechnung einer Determinante sollte das Gaußsche Eliminationsverfahrenzusammen mit (D12) und (D13) sein. Hier fallen nur etwa 2n 2 Multiplikationen an. 2Bemerkung 7.141 Die Stirlingsche Formel sagt, daß n! sich etwa wie n n e −n√ 2πn verhält.