Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 167(D9) det(AB)=det(A) det(B) .Er folgt so: Sei B =(b 1 | ...|b n ) in Spaltenform hingeschrieben. DaIK n,1 × ...× IK n,1 ∋ (x 1 ,...,x n ) ↦−→ det(Ax 1 ,...,Ax n ) ∈ IKeine alternierende Multilinearform in T n (IK n,1 ) definiert, gibt es einen Skalar d ∈ IK mitdet(AB) = det((Ab 1 | ...|Ab n )) = d det((b 1 | ...|b n )) = d det(B) .Wählt man B = E, erhält man d =det(A) .Trivial ist(D10) det(aA)=a n det(A) .und wichtig ist(D11) det(A t )=det(A) .Der Beweis zu (D11) geht so:Wegen (D6) können wir o.E. annehmen rg(A) =n, d.h. A ist invertierbar. Das GaußscheEliminationsverfahren liefert eine Darstellung von A als Produkt von Gauß– und Permutationsmatrizen(siehe Abschnitt 4.5). Für jede dieser Matrizen gilt die Aussage (D11).Also gilt wegen (D9) die Aussage auch für A selbst.Kommen wir zur Berechnung von Determinanten. Für Matrizen von oberer Dreiecksgestaltsind wir sofort erfolgreich:(D12) Ist A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)neine Matrix von oberer Dreiecksgestalt, dann gilt:det(A) =a 11 ···a nn .Dies folgt so:Ist a 11 ···a nn =0,dannistrg(A)