Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 1667.3 DeterminantenfunktionNun wollen wir die alternierenden Formen in den Spalten einer Matrix betrachten. Wirwissen schon, daß die alternierende Form T ∈T n (IK n ) bis auf eine Konstante festgelegtist, durch Normierung wird sie dann also eindeutig. Dies ist Inhalt vonDefinition 7.11Die eindeutig bestimmte alternierende Form det ∈T n (IK n,1 ) mit det(e 1 ,...,e n )=1heißt Determinantenfunktion.Ist A ∈ IK n,n eine Matrix mit Spaltenformulierung A =(a 1 | ...|a n ), dann heißtdet(a 1 ,...,a n ) die Determinante von A und wir schreiben kurz:det(A) :=det((a 1 | ...|a n )) := det(a 1 ,...,a n ) .2Auf den Zusammenhang des Determinantenbegriffs mit der Volumenmessung wollen wirhier nicht weiter eingehen, dies soll aber im Kapitel 8 nachgeholt werden.Erstmals wurden Determinanten ähnliche Objekte wohl von dem japanischen Mathematiker SekiKowa (1642 – 1708) betrachtet. G.W. Leibniz (1646 – 1716) beschrieb in einem Brief an G.l’Hospital (1661 – 1704) die 3 × 3 – Determinante als Hilfsmittel, ein lineares Gleichungssystem in2 Unbekannten und drei Gleichungen zu lösen.Halten wir nochmal ausdrücklich fest, daß die Determinantenfunktion det in IK n,n vollständigfestgelegt ist durch drei Eigenschaften:(D1) det(A) ist linear in jeder Spalte der Matrix A.(Multilinearität)(D2) det(A) ist Null, wenn zwei Spalten von A gleich sind.(Alternation)(D3) det(A) ist Eins, wenn A = E ist.(Normierung)Fügen wir noch Konsequenzen hinzu, die sich aus der Tatsache ergeben, daß det einealternierende Form ist (siehe Abschnitt 5.2).(D4) Die Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Spalte eine Linearkombinationeiner anderen Spalte addiert.(D5) Die Determinante ändert das Vorzeichen, wenn man zwei Spalten vertauscht.(D6) det(A) ist Null, wenn rg(A) 1 .(D8) det((e σ(1) | ...|e σ(n) )) = ɛ(σ), wobei σ eine Permutation ist.(D8) ist richtig für Transpositionen, da die Determinantenfunktion alternierend ist. Seiσ ∈S m eine Permutation. Nach Satz 3.18 gibt es Transpositionen τ 1 ,...,τ k mit σ =τ ◦ ...◦ τ k . Damit folgt mit Folgerung 3.19Der Multiplikationssatz lautet:det((e σ(1) | ...|e σ(n) )) = (−1) k det(E) =(−1) k = ɛ(σ) .