Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 165Zu (b). Sei T ∈A m (X) . Seien x 1 ,...,x m ∈ X.Es gilt:Alt m (T )(x 1 ,...,x m ) = 1 ∑ɛ(σ)T (x σ(1) ,...,x σ(m) )m!σ∈S m= 1 ∑ɛ(σ)ɛ(σ)T (x 1 ,...,x m )m!σ∈S m= T (x 1 ,...,x m )Zu(c). Die Tatsache Bild(Alt m ) ⊂A m (X) folgt so:Sei T =(Alt m )(T ′ )mitT ′ ∈T m (X) . Sei τ ∈S m und seien x 1 ,...,x m ∈ X.Alt m (T ′ )(x τ (1) ,...,x τ (m) ) = 1 ∑ɛ(σ)T ′ (x σ(τ (1)) ,...,x σ(τ (m)) )m!σ∈S m= 1 ∑ɛ(σ ′ ◦ τ −1 )T ′ (x σ′ (1) ,...,x σ′ (m) )m!σ ′ ∈S m= 1 ∑ɛ(σ ′ )ɛ(τ −1 )T ′ (x σ′ (1) ,...,x σ′ (m) )m!σ ′ ∈S m= ɛ(τ) 1 ∑ɛ(σ ′ )T ′ (x σ′ (1) ,...,x σ′ (m) )m!σ ′ ∈S m= Alt m (T ′ )(x 1 ,...,x m )Damit ist T = Alt m (T ′ ) ∈A m (X) gezeigt.Satz 7.10Sei X ein n–dimensionaler IK –Vektorraum. Dann gilt:( )ndim IK A m (X) = .mBeweis:Von den Basiselementen T j1 ,...,j m, 1 ≤ j 1 ,...,j m ≤ n in T m (X) (siehe Beweis zu Satz 7.3),die durchT j1 ,...,j m(e i 1,...,e im )=δ j1 i 1···δ jmi m, 1 ≤ i 1 ,...,i m ≤ nfestgelegt sind, bleiben hier nur die übrig, für die die Tupel (j 1 ,...,j m ) paarweise verschiedeneKomponenten haben. Die Anzahl dieser Elemente ist gleich der Anzahl allerTeilmengen von {1,...,n} mit m Elementen.Aus der obigen Dimensionsformel lesen wir ab:dim IK A m (X) =1, falls dim IK X = m.Dies führt uns im nächsten Abschnitt zur Determinantenfunktion.