Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 164einer ungeraden Anzahl von Nachbarnvertauschungen geschrieben werden kann.Die Implikation (d) =⇒ (a) ist klar, da eine Permutation Produkt von Transpositionenist.Der Ringschluß (b) =⇒ (c) =⇒ (d) =⇒ (e) =⇒ (f) =⇒ (b) sei dem Leserüberlassen.Bemerkung 7.7Den Schluß (d) =⇒ (e) in obigem Beweis zieht man so: AusfolgtT (...,x,...,x,...)+T (...,x,...,x,...)=0T (...,x,...,x,...)=0,da die Charakteristik von IK als Null vorausgesetzt ist.Vergleiche (c) mit Regel (R3) und (b) mit Regel (R5) aus Abschnitt 7.1. 2Folgerung 7.8Sei X ein IK –Vektorraum und sei m ∈ IN . Dann ist A m (X) ein linearer Teilraumvon T m (X) .Beweis:Mit Hilfe von Lemma 7.6 ist dies leicht zu verifizieren.Satz 7.9Sei X ein IK –Vektorraum und sei m ∈ IN . Die AbbildungAlt m : T m (X) −→ T m (X) ,Alt m (T )(x 1 ,...,x m ):= 1 ∑ɛ(σ)T (x σ(1) ,...,x σ(m) ) , (x 1 ,...,x m ) ∈ X m ,m!σ∈S mhat folgende Eigenschaften:(a) Alt m ist IK –linear.(b) Alt m|Am(X) = id Am(X) .(c) Bild(Alt m )=A m (X) .Beweis:Aus Definition von Alt m folgt Alt m (T ) ∈T m (X) für jedes T ∈T m (X) , da T m (X) einIK –Vektorraum ist. Also ist die oben vorgenommene Definition korrekt.(a) ist trivial.