Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 163Sei X = IK n,1 ,A∈ IK n,n . BetrachteT : X × X ∋ (x, y) ↦−→ x t Ay ∈ IK .Offenbar gilt T ∈T 2 (X).T (x, x) ist ein Polynom zweiten Grades in n Variablen. Die “Niveaulinien“ T (x, x) =dbeschreiben in Spezialfällen für n = 2 die Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel.2Unter den multilinearen Abbildungen sind nun solche ausgezeichnet, die gewisse Vertauschungseigenschaftenhinsichtlich ihrer Argumente besitzen. Eine solche Klasse vonmultilinearen Abbildungen ist die Menge der alternierenden (schiefsymmetrischen) Abbildungen.Sie spielen eine wichtige Rolle in der Analysis (Differentialformen, Satz vonStokes). Hier führen sie uns zur Determinantenfunktion.Erinnert sei an Abschnitt 3.2, in dem Permutationen σ und ihr Vorzeichen ɛ(σ)eingeführtwurden.Definition 7.5Sei X ein IK –Vektorraum und sei m ∈ IN . Eine multilineare AbbildungT : X m −→ IK heißt alternierend (schiefsymmetrisch), wennT (x σ(1) ,...,x σ(m) )=ɛ(σ)T (x 1 ,...,x m )für alle σ ∈S m gilt.Wir setzen A m (X) :={T ∈T m (X)|T alternierend} .2Lemma 7.6Sei X ein IK –Vektorraum und sei m ∈ IN . Dann sind für eine multilineare AbbildungT : X m −→ IK äquivalent:(a) T ∈A m (X) .(b) T (...,x,x,...)=0für alle x ∈ X.(c) T (...,x,y,...)=−T (...,y,x,...) für alle x, y ∈ X.(d) T (...,x,...,y,...)=−T (...,y,...,x,...) für alle x, y ∈ X.(e) T (...,x,...,x,...)=0für alle x ∈ X.(f) Sind x 1 ,...,x m linear abhängig, dann gilt T (x 1 ,...,x m )=0.Beweis:Die Implikation (a) =⇒ (c) ist klar, da eine Nachbarvertauschung eine ungerade Permutationist.Die Implikation (c) =⇒ (d) folgt aus der Tatsache, daß jede Transposition als Produkt