Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 10(R6) f −1 (B 1 \B 2 )=f −1 (B 1 )\f −1 (B 2 )Die Beweise hierzu sind nahezu trivial, wir übergehen sie daher.In der folgenden Definition verwenden wir die kompakte Quantoren–Schreibweise, nichtimmer wollen wir so verfahren, da dann der Text ziemlich “unleserlich“ würde.Definition 1.14Sei f : X −→ Y eine Abbildung.(i) f injektiv : ⇐⇒ ∀x, x ′ ∈ X (x ≠ x ′ =⇒ f(x) ≠ f(x ′ ))(ii) f surjektiv : ⇐⇒ ∀y ∈ Y ∃x ∈ X (y = f(x))(iii) f bijektiv : ⇐⇒ f injektiv und surjektiv.2Man vergleiche (i) mit der Umformulierung der Wohldefiniertheit in Bemerkung 1.9.Definition 1.15Seien f : X −→ Y,g : Y −→ Z Abbildungen. Die Hintereinanderausführungoder Komposition g ◦ f der Abbildungen f,g ist erklärt durchg ◦ f : X ∋ x ↦−→ g(f(x)) ∈ Z.2Der Grund für die Reihenfolge “zuerst g, dannf“ in der Schreibweise von g ◦ f ist der,daß ein Bild unter der zusammengesetzten Abbildung g ◦ f gerade g(f(x)) ist.Rechenregeln sind (f : X −→ Y,g : Y−→ Z, h : Z −→ W Abbildungen):(R7) id Y ◦ f = f ◦ id X(R8) h ◦ (g ◦ f) =(h ◦ g) ◦ f(Assoziativgesetz)Man beachte aber, daß für die Hintereinanderausführung von Abbildungen ein Kommutativgesetz( f ◦ g = g ◦ f) nicht gilt. Dies sieht man etwa mitf : IR ∋ x ↦−→ x +1∈ IR ,g: IR ∋ x ↦−→ x 3 ∈ IR ,dagilt.f ◦ g(x) =x 3 +1,g◦ f(x) =(x +1) 3 ,x∈ IR ,