Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 162und als Konsequenz ist der Kandidat für das charakteristische Polynom χ Agegeben alsδ(A − λE) =0. Die Gleichung δ(A − λE) = 0 hat unabhängig von den Eigenwerten vonA einen Sinn. Formal entdecken wir auch sofort wieder den Satz von Cayley – Hamilton:χ A(A) =Θ .7.2 MultilinearformenDefinition 7.2Sei X ein IK –Vektorraum und sei m ∈ IN .Eine Abbildung T : X m −→ IK heißt multilinear, wenn T in jedem ArgumentIK – linear ist, d.h. wennT (x 1 ,...,x j−1 ,au+ bv, x j+1 ,...,x m )= aT (x 1 ,...,x j−1 ,u,x j+1 ,...,x m )+bT (x 1 ,...,x j−1 ,v,x j+1 ,...,x m )für alle x 1 ,...,x j−1 ,u,v,x j+1 ,...,x m ∈ X, a, b ∈ IK , gilt.Wir setzen T m (X) :={T : X m −→ IK |T multilinear} .2Offensichtlich ist T m (X) wiederingewöhnlicher Weise ein IK –Vektorraum. Für m =1haben wir T m (X) =X ′ und für m = 2 sprechen wir bei T m (X) vom Raum der Bilinearformen(siehe Abschnitt 8.1).Ist X ein endlichdimensionaler Raum mit Basis {e 1 ,...,e n }, dann ist jede AbbildungT ∈T m (X) auf Grund der Multilinearität durch die Wertefestgelegt. Dies führt zuT (e i 1,...,e im ) , 1 ≤ i 1 ,...,i m ≤ n,Folgerung 7.3Ist dim IK X = n, dann ist dim IK T m (X) =n m .Beweis:Betrachte die multilinearen Abbildungen T j1 ,...,j m, die durchT j1 ,...,j m(e i 1,...,e im )=δ j1 i 1···δ jmi m, 1 ≤ i 1 ,...,i m ≤ nfestgelegt sind; 1 ≤ j 1 ,...,j m ≤ n. Man stellt fest, daß diese Abbildungen eine Basisbilden.Beispiel 7.4