Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 7DeterminantenJeder Matrix kann ein Skalar (Determinante) so zugeordnet werden, daß er Auskunftdarüber gibt, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Wir konstruieren diese Determinantehier nun in einem allgemeinen algebraischen Kontext.Der Skalarkörper sei in diesem Kapitel ohne weitere Erwähnung immer von der Charakteristik0, also insbesondere auch unendlich; an geeigneter Stelle verweisen wir auf denGrund. Damit können wir wieder P IK und IK [x] gleichberechtigt verwenden.7.1 EinführungErinnern wir uns an Kapitel 2: Bei der Lösung des Gleichungssystemsa 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2haben wir die von der Matrix ( )a11 a 12a 21 a 22abgeleitete Größe∆:=a 11 a 22 − a 12 a 21(Produkt der Haupdiagonalen minus Produkt der Nebendiagonalen) kennengelernt. Diezugehörige Abbildung( )δ : IK 2,2 a11 a∋12↦−→ ∆:=aa 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 ∈ IK22hat interessante Eigenschaften.(R1) δ(E) =1für die Einheitsmatrix E.Folgt durch einfaches Nachrechnen.(R2) δ(A) =δ(A t )Folgt durch einfaches Nachrechnen.159