Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 156betrachten. Damit haben wir im Bild von σ alle eindimensionalen Teilräume (Geraden)in IR 3 erfaßt, die nicht in der zu E parallelen Ebene E 0 durch den Nullpunkt θ liegen.Fügen wir diese dem Bild von σ hinzu, dann haben wir den “vollen“ projektiven Raumvorliegen. Wir können also mit Hilfe von Ẽ := E∪E 0 den projektiven Raum IP 2 (IR )“parametrisieren.“Während in IP 2 (IR ) alle Punkte, also die eindimensionalen Teilräume des VektorraumesX, gleichberechtigt sind, werden im konkreten Modell Ẽ die Punkte der Ferngeraden,d.h. der Geraden, die durch Punkte in E 0 repräsentiert werden und in ganz E 0 liegen, vorden anderen ausgezeichnet. Sie entsprechen keinen Punkten von E, sondern einer Richtungin E.Machen wir uns ein zweites “Modell“ der projektiven Ebene.Sei S 2 := {(x, y, z) ∈ IR 3 |x 2 +y 2 +z 2 =1} die Einheitssphäre. Jede Gerade g in IR 3 durchden Nullpunkt θ trifft auf S 2 in zwei antipodal liegenden Punkten. Unser zweites Modelldes IP 2 (IR ) ist nun die Menge aller Paare (u, v) antipodal liegender Punkte, d.h.{(u, −u)|u ∈S 2 } .(Es ist nicht möglich, einfach aus jedem Paar einen Punkt auszuwählen, da die Mengeungeordnet ist. Der Äquator z = 0 ist sicher ein besonderes Hindernis.) In der Theorie derMannigfaltigkeiten lernt man, diesem Modell noch weitere Anschaulichkeit abzugewinnen.Bemerkung 6.35Sei X ein n + 1 – dimensionaler IK – Vektorraum und sei PR(X) dern – dimensionaleprojektive Raum zu X. Die linearen Teilräume U von X korrespondieren mit linearenTeilräumen U a in X ′ ; siehe Definition 4.60 und Abschnitt 4.6. Damit korrespondieren mitden projektiven Unterräumen PR(U) derDimensionk projektive Unterräume PR(U a )der Dimension n − k − 1inPR(X ′ ) . Daraus ergibt sich das Dualitätsprinzip derprojektiven Geometrie: Sätze bleiben im allgemeinen richtig, wenn in ihnen projektiveRäume der Dimension k durch projektive Räume der Dimension n − k − 1 ersetzt werden.(“Im allgemeinen“ bedeutet, daß sich die Formulierung der Sätze mit der Annihilator–Bildung “verträgt“.) Für k = 0 ergibt sich die Tatsache, daß Punkte gegen Hyperebenenausgetauscht werden dürfen. 2Seien X, Y IK –Vektorräume, sei L : X −→ Y IK – linear und sei U := Kern(L) . IstU ≠ X, dann werden eindimensionale Unterräume von X, dienichtganzinU enthaltensind, auf eindimensionale Unterräume von Y abgebildet. Damit wird in einfacher Weiseeine Abbildunginduziert. Dies führt uns zuξ L : PR(X)\PR(U) ∋L({u}) ↦−→ L({L(u)}) ∈PR(Y )