Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 155Dies folgt so:Ist Q = PR(U) =PR(W ),U,W lineare Teilräume von X, so folgt für u ∈ U, u ≠ θ, auchL({u}) ∈ Q = PR(W ), d.h. L({u}) ist linearer Teilraum von W und daher u ∈ W. Alsoist U ⊂ W. Aus Symmetriegründen bekommt man U = W.Die projektiven Unterräume der Dimension 0 sind die einelementigen Teilmengen vonPR(X), und sie werden deshalb üblicherweise mit den Punkten in PR(X) identifiziert.Die projektiven Unterräume der Dimension 1 nennt man Geraden. Eine Gerade inPR(X) ist also ein projektiver Raum PR(U), wobei U ein linearer Teilraum von Xund dim IK U =2ist.Beispiel 6.34Sei IK ein Körper. Dann nennen wir IP n (IK ):=PR(IK n+1 )den(kanonischen) n–dimensionalen projektiven Raum über IK . 2Halten wir noch fest:In der projektiven Ebene schneiden sich je zwei verschiedene Geraden in genaueinem Punkt und durch je zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.Dies folgt zum Teil aus der Dimensionsformelprodim PR(U 1 + U 2 ) = dim IK (U 1 + U 2 ) − 1= dim IK (U 1 )+dim IK (U 2 ) − dim IK (U 1 ∩ U 2 ) − 1= prodim PR(U 1 )+prodimPR(U 1 ) − prodim PR(U 1 ∩ U 2 )= 2− prodim PR(U 1 ∩ U 2 ) ,da hier prodim PR(U 1 + U 2 ) ≤ 2 und daher prodim PR(U 1 ∩ U 2 ) ≥ 0ist.Wir sehen also, daß die Ausnahmen, die man in der euklidischen Geometrie des IR 3 häufigwegen der Parallelität von Geraden und Ebenen machen muß, in der projektiven Ebenenicht auftreten sollten.In der bisherigen Betrachtung ist “keinerlei“ Anschauung eingearbeitet. Wir wollen nunein “Modell“ des projektiven Raumes in der Anschauungsebene und im (uns umgebenden)Raum entwickeln, das den Begriff der Zentralprojektion aufnimmt.Betrachte in IR 2 eine Gerade g mit Richtungsvektor p, die nicht durch den Nullpunkt geht.Dann können wir jedem Punkt u der Geraden g den Punkt L({p}) ∈ IP 1 (IR) zuordnen.Damit erhalten wir alle eindimensionalen Teilräume von IR 2 mit Ausnahme von p 0 :=L({p}) . Diesen Punkt fügen wir nun hinzu und erhalten so die projektive Gerade IP 1 (IR).Den Punkt p 0 := L({p}) bezeichnet man als unendlich fernen Punkt. Man verknüpftdamit die Vorstellung, daß die beiden “Enden“ von IR zu einem Punkt zusammengebundenwerden. Eine Untermauerung dafür ist, daß es eine bijektive Abbildung von IP 1 (IR) auf dieKreislinie in IR 2 gibt. In ähnlicher Weise gehen wir eine Dimension höher vor. Betrachtein IR 3 eine Hyperebene E, d.h. einen affinen Teilraum der Dimension 2, der den Nullpunktθ nicht enthält. Dann können wir die Abbildungσ : E∋x ↦−→ L({x}) ∈ IP 2 (IR )