Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 9Definition 1.11Sei A eine Menge. Dann nennt man die Abbildungid A : A ∋ x ↦−→ x ∈ Adie Identität auf A. (Manchmal lassen wir den Index A weg und schreiben einfachid, wenn klar ist, um welches A es sich handelt.)2Definition 1.12Seien A, B Mengen. Dann heißt die Abbildungπ 1 : A × B ∋ (a, b) ↦−→ a ∈ Adie Projektion auf den ersten Faktor.2Es sollte klar sein, daß entsprechend auch die Projektionen auf beliebige Faktoren in einemkartesischen Produkt A n erklärt sind:π j : A n ∋ x =(x 1 ,...,x j ,...,x n ) ↦−→ x j ∈ A (j ∈{1,...,n}) .Definition 1.13Sei f : X −→ Y eine Abbildung und seien A ⊂ X, B ⊂ Y.Dann heißt die Mengef(A) :={f(x)|x ∈ A}die Bildmenge von A oder das Bild von A, und die Mengef −1 (B) :={x ∈ X|f(x) ∈ B}heißt die Urbildmenge von B oder einfach das Urbild von B.2Rechenregel sind (f : X −→ Y,A 1 ,A 2 ⊂ X, B 1 ,B 2 ⊂ Y ):(R1) A 1 ⊂ A 2 =⇒ f(A 1 ) ⊂ f(A 2 )(R2) f(A 1 ∪ A 2 )=f(A 1 ) ∪ f(A 2 )(R3) f(A 1 ∩ A 2 ) ⊂ f(A 1 ) ∩ f(A 2 )(R4) B 1 ⊂ B 2 =⇒ f −1 (B 1 ) ⊂ f −1 (B 2 )(R5) f −1 (B 1 ∪ B 2 )=f −1 (B 1 ) ∪ f −1 (B 2 )