Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 150Parallele Geraden sind G 1 ,G 2 bzw. G 3 ,G 4 .(Ein weiterer affiner Teilraum ist noch der Raum selbst). 2Sei X ein IK –Vektorraum X und sei A := x+U ein affiner Teilraum von X. Ist {u 1 ,...,u k }eine Basis von U, dann kann man jedes v ∈ A in der Gestaltk∑v = x + a i u i mit a 1 ,...,a k ∈ IKi=1schreiben. Man nennt dies eine Parameterdarstellung von A mit Richtungsvektorenu 1 ,...,u k und Parametern a 1 ,...,a k .Der Begriff einer Basis läßt sich nun mit Hilfe der Basen von Richtungsräumen auf affineRäume übertragen.Definition 6.24Sei X ein IK –Vektorraum. Punkte x 0 ,x 1 ,...,x k ∈ X heißen affin unabhängig,wenn {x 1 − x 0 ,...,x k − x 0 } linear unabhängig in X ist.2Man bestätigt sehr einfach, daß in der Definition 6.24 die Reihenfolge der Elemente nichtwesentlich ist, d.h. sind x 0 ,x 1 ,...,x k ∈ X affin unabhängig, dann sind x π(0) ,...,x π(k)affin unabhängig für jede Permutation π von 0,...,k.Beispiel 6.25Im affinem Raum A n (IK )ist{θ, e 1 , ..., e n } mit den Standardeinheitsvektoren e 1 ,...,e n ∈IK n affin linear unabhängig. 2Seien x 0 ,x 1 ,...,x n ∈ X affin unabhängig in X. Dann gibt es einen eindeutig bestimmtenk–dimensionalen affinen Teilraum A, der die Punkte x 0 ,...,x k enthält. Seine Parameterdarstellungistk∑v = x 0 + a i (x i − x 0 )mita 1 ,...,a k ∈ IK . (6.1)i=1Dieser affine Teilraum heißt der Verbindungsraum von x 0 ,...,x k . Wir schreiben dafürx 0 ∨ x 1 ∨ ...∨ x k . Durch Umrechnen der Darstellung (6.1) ergibt sichk∑k∑v =(1− a i )x 0 + a i x i mit a 1 ,...,a k ∈ IK , (6.2)i=1i=1alsok∑k∑v = b i x i mit b 0 ,...,b k ∈ IK , b i =1. (6.3)i=0i=0Bei der Darstellung (6.3) ist die Sonderrolle des Punktes x 0 beseitigt; sie liefert eine völligsymmetrische Darstellung der Punkte von x 0 ∨ x 1 ∨ ...∨ x k . Die Zahlen b 0 ,...,b k in derDarstellung (6.3) heißen die baryzentrischen Koordinaten von v bezüglich x 0 ,...,x k .