Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 149Sei A affiner Raum über dem IK –Vektorraum X. Aus der eben formulierten Tatsacheleiten wir ab, daß wir ohne Verluste auf die Unterscheidung zwischen dem VektorraumX und der Menge verzichten können. Wir haben lediglich die Sprechweise anzupassen. Inder affinen Sprechweise sind die Elemente von X nun Punkte. Die affine Grundoperationbesteht darin, je zwei Punkten u, v den Verbindungsvektor v − u von u nach v zuzuordnen.Zu gegebenem Punkt x ∈ X und Vektor u ∈ X existiert genau ein Punkt v ∈ X,sodaß u der Verbindungsvektor von x nach v ist, nämlich v = x + u. Man sagt, der Punktv entsteht aus x durch Abtragen des Vektors u. Ist x 0 ein fester Punkt von X und v ∈ X,so heißt der Verbindungsvektor v − x 0 auch Ortsvektor von v bezüglich dem Ursprungx 0 . Da die Zuordnung v ↦−→ v − x 0 bijektiv ist, ist bei festem x 0 jeder Punkt v durchseinen Ortsvektor v − x 0 charakterisierbar. Für x 0 = θ erhält man spezielle Ortsvektoren,die aber in der affinen Betrachtung keine Sonderrolle spielen. Die Ortsvektoren einesPunktes v bezüglich zweier Ursprünge unterscheiden sich nur durch einen festen Vektor.Definition 6.21Sei X ein IK -Vektorraum. Eine Teilmenge A von X heißt affiner Teilraum vonX, wenn es x ∈ X und einen linearen Teilraum U von X gibt mit A = x + U. Mansetzt affdim A := dim IK U.Den Raum U nennt man Richtungsraum von A.2Affine Unterräume sind uns schon bei der Einführung der Faktorräume begegnet. Wirwissen auch schon, daß U durch A schon eindeutig bestimmt ist.Sei X ein IK -Vektorraum X.Die affinen Teilräume der (affinen) Dimension 0 sind die Punkte x ∈ X, die eindimensionalenaffinen Teilräume sind die Geraden. Einen affinen Teilraum der Dimensionn − 1(n := dim X) nenntmaneineHyperebene.Definition 6.22Seien A 1 := x 1 + U und A 2 := x 2 + V affine Teilräume des IK –Vektorraums X.A 1 ,A 2 heißen parallel, wenn U ⊂ V oder V ⊂ U gilt.2Achtung! Die Parallelität ist keine Äquivalenzrelation.Beispiel 6.23Sei IK := ZZ 2 und betrachte A 2 (IK ). Wie sehen die affinen Teilräume von A 2 (IK )aus?Punkte sind :(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Geraden sind:G 1 = {(0, 0), (1, 0)} ,G 2 = {(0, 1), (1, 1)} ,G 3 = {(0, 0), (1, 1)} ,G 4 = {(0, 1), (1, 0)} ,G 5 = {(0, 0), (0, 1)} ,G 6 = {(1, 0), (1, 1)} .