Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 148Den SachverhaltPQ−→+ QR−→= PR−→kann man in der üblichen Weise zeichnen: Man heftet an P den Pfeil PQ−→an und kommtzu Q und man heftet an Q den Pfeil QR−→und kommt zu R. Man heftet an P den PfeilPR−→ und kommt auch zu R.Folgerung 6.18Sei A affiner Raum über dem IK –Vektorraum X. Es gilt:(a) PP−→ = θ für alle P ∈ A.(b) QP−→= −PQ−→ für alle P, Q ∈ A.(c) Aus PQ−→Beweis:Zu (a) := RS−→folgt PR−→Nach Definition gilt PP−→+ PP−→Zu (b) :Aus der Definition und (a) folgt θ = PP−→Zu (c) :PR−→= PQ−→+ QR−→= RS−→+ QR−→= QR−→= QS−→ . (Parallelogrammregel)= PP−→ ,alsoPP−→ = θ.+ RS−→= PQ−→+ QP−→ , also PQ−→= QS−→ .= −QP−→ .Folgerung 6.19Ist X ein IK –Vektorraum, dann wird X durch die Abbildungzu einem affinen Raum.Beweis.Offensichtlich.X × X ∋ (x, y) ↦−→ y − x ∈ XBeispiel 6.20Den affinen Raum, der aus IK n gemäß Folgerung 6.19 abgeleitet wird, schreiben wir alsA n (IK ). 2Da die AbbildungA ∋ Q ↦−→ PQ−→für jedes P ∈ A bijektiv ist, können wir die Definition 6.17 im Lichte von Folgerung 6.19pauschal etwa so wiedergeben:∈ XEin affiner Raum entsteht aus einem Vektorraum, indem man die Auszeichnungeines festen Punktes als Ursprung (eines Koordinatensystems) aufhebt.