Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 145Sei zunächst f(θ) =θ. Wir zeigen, daß f linear ist.Nach Voraussetzung gilt|f(x)| = |f(x) − θ| = |x − θ| = |x|für alle x ∈ IR n . Nun folgt für alle x, y ∈ IR n :2 = |f(x)| 2 + |f(y)| 2 −|f(x) − f(y)| 2= |x| 2 + |y| 2 −|x − y| 2= 2 .Also läßt f auch das euklidische Skalarprodukt invariant.Mit der Standardbasis e 1 ,...,e n ∈ IR n folgt damit nunund f(e 1 ),...,f(e n ) ist eine Basis von IR n .Sei x ∈ IR n ∑,x= n x i e i . Damit haben wiri=1= δ ij , 1 ≤ j ≤ n,x i ==< f(x),f(e i ) >, 1 ≤ i ≤ n,undn∑f(x) = x i f(e i ).i=1Daraus lesen wir ab, daß f ein Endomorphismus ist, der das Skalarprodukt invariant läßt.Nun können wir ohne Einschränkungen IR n mit IR n,1 identifizieren und annehmen (nachWahl einer Basis), daß mit A ∈ IR n,n gilt:f(x) =Ax , x ∈ IR n,1 .Aus =< x,y>,x,y∈ IR n,1 , folgt in leichter Rechnung=< A t Ax, y >=< x,A t Ay > , x, y ∈ IR n,1 .Daraus folgt A t A = E und schließlich auch AA t = E.Sei nun b := f(θ). Setze g(x) :=f(x) − b, x ∈ IR n,1 . Man sieht, daß auch g den Abstandinvariant läßt. Außerdem gilt g(θ) =θ. Aus obigem Spezialfall folgt die Existenz vonA ∈O(n) mitf(x) =b + Ax , x ∈ IR n,1 ,alsof = T b ◦ A.Für jede andere solche Darstellungf = T c ◦ Bmit c ∈ IR n,1 und B ∈O(n) folgt zunächst b = f(θ) =c und dann Ax = Bx für allex ∈ IR n,1 ,alsoA = B.