Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 144woraus wir die Aussage nun ablesen.Zu (c) :Nur die letzte Ungleichung ist nicht offensichtlich. Seien x, y ∈ IR n . Es gilt mit (b)|x + y| 2 = =< x,y>+2 + ≤ |x| 2 +2|x| |y| + |y| 2= (|x| + |y|) 2und die Aussage ist bewiesen.Bemerkung 6.13Die Ungleichung aus (b) in Lemma 6.12 ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.Die Eigenschaften aus (c) belegen, daß die Abbildungd 2 : IR n × IR n ∋ (x, y) ↦−→ |x − y| ∈IRtatsächlich eine Metrik im Sinne von Definition 6.9 darstellt. Wir sprechen dabei auchvom euklidischen Abstand.2Wie sehen die Symmetriegruppen auf dem euklidischen Raum IR n (also IR n versehen mitder euklidischen Struktur) aus? Dazu folgende Bezeichnungen:O(n) :={A ∈ IR n,n |A t A = AA t = E} , SO(n) :={A ∈O(n)| det(A) =1}.Hierbei sei an die Einführung der Determinante aus Abschnitt 5.5 erinnert. Da wir nochnicht über den Determinantensatz det(AB) =det(A)det(B) verfügen, können wir nochnicht elementar nachweisen, daß O(n) und SO(n) Gruppen sind. SO(n) heißtspezielleorthogonale Gruppe; siestehtfür die Rotationen in der euklidischen Ebene. Die euklidischeGruppe E(n) wird definiert als diejenige Untergruppe von S(IR n ), welche vonSO(n) und der Gruppe der TranslationenT := {T b |b ∈ IR n } (T b (x) :=b + x, b ∈ IR n ,x∈ IR n )erzeugt wird. Die volle Symmetriegruppe, d.h. die Gruppe, die zur euklidischen Strukturgehört, ist nicht sehr viel größer als E(n); dazuSatz 6.14Jedes f ∈S(IR n ), welches den euklidischen Abstand invariant läßt, d.h.|f(x) − f(y)| = |x − y| für alle x, y ∈ IR n ,ist nach Identifikation von IR n mit IR n,1 von der Form f = T b ◦ A mit A ∈O(n)und b ∈ IR n,1 ; b und A sind dabei eindeutig bestimmt.Beweis: