Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 143Nun betrachten wir den n – dimensionalen Fall.Definition 6.11(a) Die Abbildungn∑d 2 : IR n × IR n ∋ (x, y) ↦−→ |x − y| := ( (x i − y i ) 2 ) 1 2 ∈ IRi=1heißt euklidische Metrik.(b) Die Abbildung|·|: IR n ∋ x ↦−→ d 2 (x, θ) ∈ IRheißt euklidische Norm.(c) Die Abbildung< ·, · > : IR n × IR n ∋ (x, y) ↦−→n∑x i y i ∈ IRi=1heißt euklidisches Skalarprodukt.2Lemma 6.12Es gilt:(a) |x| ≥0 ,= |x| 2 für alle x ∈ R n .(b) | |≤|x||y| für alle x, y ∈ R n .(c) 1. |x| =0genau dann, wenn x = θ. (Definitheit)2. |ax| = |a||x| für alle a ∈ IR,x∈ IR n . (Homogenität)3. |x + y| ≤|x| + |y| für alle x, y ∈ IR n . (Dreiecksungleichung)Beweis:Zu (a) :KlarZu (b) :Seien x, y ∈ IR n .Isty = θ, dann ist die Aussage schon klar. Sei also nun y ≠ θ.Offenbar gilt 0 ≤ für alle a ∈ IR , alsoSetze a :=< x,y> −1 . Dann folgt0 ≤ −2a +a 2 .0 ≤ − 2 ,