Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 8Dies ist eine triviale 1 Umformulierung der Definitionen 1.6 und 1.7.Wir führen noch Quantoren ein. Damit können wir dann viele Resultate und Definitionennoch kompakter hinschreiben.NotationSprechweise∀a ∈ A “für alle Elemente a in A“∃a ∈ A “es existiert a in A“∃ 1 a ∈ A “es existiert genau ein a in A“∀a (P )“für alle Elemente a in A ist P wahr“∀a (P ) “für alle Elemente a in A gilt P“Bemerkung 1.9Unter Benutzung der eben eingeführten Quantoren lassen sich die äquivalenten Bedingungenvon Satz 1.8 wie folgt formulieren:(i) ∃f : A −→ B (graph(f) =G) .(ii) ∀a ∈ A ∃ 1 b ∈ B ((a, b) ∈ G) .Die Bedingung (ii) – und damit auch (i) – sagt, daß eine Abbildung immer wohldefiniertist, was man noch äquivalent schreiben kann als∀a, a ′ ∈ A (a = a ′ =⇒ f(a) =f(a ′ ))oder∀a, a ′ ∈ A (f(a) ≠ f(a ′ ) =⇒ a ≠ a ′ ) .2Beispiel 1.10An folgender Funktion, die in der Analysis gelegentlich als Gegenbeispiel Verwendungfindet, wollen wir eine weitere Form des Hinschreibens einer Funktion kennenlernen.Betrachte{1 , falls x ∈′Qf : IR −→ IR ,x ↦−→0 , falls x ∈ IR \′Q .Wie soll man den Graph hinzeichnen? 21 trivial = platt, seicht, alltäglich, kommt von Trivium, ein lateinisches Wort für Dreiweg, womitderuntere Lehrgang mittelalterlichen Universitätsunterrichts (Grammatik, Dialektik, Rhetorik) bezeichnetwurde. In der Mathematik nennen wir eine elementare oder offensichtliche Schlußweise oder Aussagetrivial.