Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 142Nun können wir wohl erläutern, was das von F. Klein im Jahre 1872 formulierte ErlangerProgramm zum Inhalt hat: Es ist eine Menge und eine Transformationsgruppe gegeben;untersuche die der Menge angehörenden“ Gebilde auf Eigenschaften, die durch die””Transformationsgruppe nicht geändert werden.“ Gegenüber der Definition einer Symmetriegruppehat sich der Blickpunkt vollkommen umgedreht: Gegeben ist nicht eineStruktur und eine dazu passende Symmetriegruppe, sondern vorgegeben ist eine Transformationsgruppe,welche eine Struktur auf M, zu der dann die Transformationsgruppedie passende Symmetriegruppe ist, erst definiert.Nach dem Standpunkt von F. Klein sind also nicht die geometrischen Größen wie Abstand,Winkel,...die Grundgrößen der Geometrie, sondern das fundamentale Objekt derGeometrie ist die Transformationsgruppe als Symmetriegruppe; die geometrischen Größenergeben sich daraus.6.2 Der Euklidische RaumBeginnen wir mit der euklidischen Ebene IR 2 . Die euklidische Struktur auf M := IR 2 wirddurch die euklidische Metrik (auch euklidischer Abstand genannt)d(x, y) :=√(x 1 − y 1 ) 2 +(x 2 − y 2 ) 2definiert. (Daß eine Metrik vorliegt, zeigen wir unten in einer allgemeineren Situation.)Offenbar sind alle TranslationenT b : IR 2 ∋ x ↦−→ x + b ∈ IR 2 (b ∈ IR 2 )strukturerhaltend, d.h. abstandserhaltend. Ferner sind es alle Rotationen( )cos ϕ − sin ϕR ϕ : IR 2 ∋ x ↦−→ A ϕ x ∈ IR 2 ,A ϕ :=,sin ϕ cos ϕum den Winkel ϕ ∈ [0, 2π).Wir fassen zusammen:T := {T b |b ∈ IR 2 }, SO(2) := {R ϕ |ϕ ∈ [0, 2π)}Beide Mengen sind Gruppen bzgl. der Hintereinanderausführung:T a ◦ T b = T a+b ,R ϕ ◦ R ψ = R ϕ+ψ .Die euklidische Gruppe E(2) sei die kleinste Untergruppe von S(IR 2 ), die T und SO(2)enthält. Diese Gruppe ist eine Symmetriegruppe der euklidischen Struktur. Da auch dieSpiegelungenS 1 : IR 2 ∋ (x, y) ↦−→ (y, x) ∈ IR 2 ,S 2 : IR 2 ∋ (x, y) ↦−→ (−x, y) ∈ IR 2strukturerhaltend sind, ist eine weitere Symmetriegruppe der euklidischen Struktur gegebendurch die kleinste Untergruppe E ∗ (2) von S(IR 2 ), die T , SO(2) und S 1 ,S 2 enthält.Die Elemente von E(2) werden als (euklidische) Bewegungen bezeichnet.