Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 141Im Fall n = 4 stellt man schon fest, daß die volle“ Gruppe S(M ” 4 ) nicht die passendeSymmetriegruppe ist, etwa ist die Permutation( )1 2 3 4π =4 3 1 2nicht zulässig.Für n ≥ 4 ist die sogenannte Diedergruppe D n ⊂S(M n ) die passende Symmetriegruppe.Sie enthält als Untergruppe ZZ n (Drehungen um den Winkel 2π n k ) und n Spiegelung.Eine genauere Betrachtung zeigt, daß D n genau diese 2n Elemente enthält. D n ist nichtkommutativ und nicht isomorph zu ZZ 2 × ZZ n ! (Dies bedeutet, daß es keine bijektiveAbbildung von D n nach ZZ 2 × ZZ n gibt, bei der die Gruppenoperationen mit der Abbildungsvorschriftverträglich sind.)Die topologische Struktur wollen wir nur am Spezialfall der metrischen Struktur erläutern.Dazu benötigen wirDefinition 6.9Sei M eine nichtleere Menge. Eine Abbildungd : M × M ∋ (x, y) ↦−→ d(x, y) ∈ IRheißt Metrik (auf M), falls gilt:(a) d(x, y) =0genau dann, wenn x = y.(b) d(x, y) =d(y,x) ∀x, y ∈ M(c) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z,y) ∀x, y ∈ MDas Paar (M, d) heißt dann metrischer Raum.(Definitheit)(Symmetrie)(Dreiecksungleichung)2Wir werden eine Reihe von Beispielen für metrische Räume kennenlernen. Das zunächstwichtigste Beispiel ist der IR n zusammen mit der Metrik, die vom euklidischen Abstandinduziert wird (siehe Abschnitt 6.2).Beispiel 6.10Sei (M, d) ein metrischer Raum.Die Abbildungen, die zur metrischen Struktur passen, sind die Isometrien, d.h. die zugehörigeSymmetriegruppe istISO(M, d) :={f ∈S(M)| d(x, y) =d(f(x),f(y)) ∀x, y ∈ M}2