Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 140Ist U eine Symmetriegruppe auf M –derFallU = S(M) istzugelassen–,dannwirdalsodurchφ U : U × M ∋ (u, m) ↦−→ u(m) ∈ Meine Wirkung auf M definiert. Im allgemeinen spricht man von kontinuierlichen Symmetriegruppen,wenn #M = ∞ ist, sonst von diskreten Symmetriegruppen.Ihre Bedeutung erhalten ausgezeichnete Symmetriegruppen dadurch, daß sie zu gewissenStrukturen passen. Den Strukturbegriff wollen wir hier nicht definieren, in Beispielen wirddeutlich werden, was wir meinen.Beispiel 6.5Sei V ein IK –Vektorraum. Die Gruppe GL(V ):={L ∈S(V )|L IK –linear} der Isomorphismenauf V nennen wir die zur linearen Struktur passende Symmetriegruppe.Beispiel 6.6Sei M eine nichtleere Menge. Die “volle“ Symmetriegruppe S(M) nennen wir zur leerenStruktur passend. “Leere Struktur“ sagen wir, weil ein f ∈S(M) ohne weitere Überprüfungeiner Vorgabe anderer Art zur Symmetriegruppe gehört.Ein wichtiges Beispiel, das vor allem in der Theorie der Mannigfaltigkeiten von Interesseist, istBeispiel 6.7Sei M ⊂ IR n offen. 1 Die GruppeDiff(M) :={f ∈S(M)|f,f −1 differenzierbar}der Diffeomorphismen von M nennen wir die zur differenzierbaren Struktur auf Mpassende Symmetriegruppe. (Der Satz über implizite Funktionen hat eine große Bedeutungbei der Untersuchung von Diffeomorphismen.)Beispiel 6.8Betrachte in IR 2 die regelmäßigen Polygone (regelmäßige Vielecke) im Einheitskreis mitθ als Mittelpunkt. Ein solches Polygon P n mit n Ecken läßt sich durch die EckpunkteM n := {p 1 , ..., p n }⊂P n repräsentieren. Symmetriegruppen, die zu diesen symmetrischenFiguren passen, sind dann beschrieben durch Untergruppen von S(M n ), die das PolygonP n in sich überführen und die Abstände zwischen den Endpunkten erhalten. 2Der Fall n = 3 ist schnell klar. Hier ist die volle“ Gruppe S(M ” 3 ) die passende Symmetriegruppe(3 Drehungen, 3 Spiegelungen).1 M heißt offen, wenn es zu jedem m ∈ M einen Würfel W := (a 1 ,b 1 ) ×···× (a n ,b n )gibtmitm ∈ W ⊂ M.√n∑2 Der (euklidische) Abstand d(x, y) zwischenx, y ∈ IR n ist erklärt als d(x, y) := (x i − y i ) 2 .i=1