Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 139Zu (b) :Seien x, y ∈ G . Dann folgt für alle m ∈ M :φ x•y (m) = φ(x • y, m) =φ(x, φ(y, m)) == φ x (φ(y, m)) = φ x (φ y (m)) = (φ x ◦ φ y )(m).Beispiel 6.3Sei G die additive Gruppe IR und sei M := IR 2 . Wir setzenΦ(t, x) :=(e t x 1 ,e −t x 2 ) ,t∈ IR,x=(x 1 ,x 2 ) ∈ IR 2 ,und haben damit eine Wirkung auf IR 2 erklärt, denn Φ(0,x)=x undΦ(t, Φ(s, x)) = Φ(t, (e s x 1 ,e −s x 2 ))= (e t e s x 1 ,e −t e −s x 2 )= (e (t+s) x 1 ,e −(t+s) x 2 )= Φ(t + s, x) .(Die Variable in der additiven Gruppe IR haben wir mit t, s bezeichnet. Damit tragenwir der liebgewordenen Gewohnheit Rechnung, im Kontext, wo eine physikalische Zeitauftritt, diese mit t,s,... zu bezeichnen. In der Tat stellt die Wirkung Φ nichts anderesdar als den Fluß einer Bewegung eines Teilchens in der Ebene: Φ(t, x) ist die Positiondes Teilchens zur Zeit t, das zur Zeit t = 0 in der Position x war. Diese Bewegung wirdbeschrieben durch das Differentialgleichungssystemy ′ 1 = y 1 ,y 1 (0) = x 1 ,y ′ 2 = y 2 ,y 2 (0) = x 2 .In der Theorie der dynamischen Systeme kommt zur “algebraischen“ Forderung an eineWirkung noch eine topologische Forderung hinzu, nämlich die Stetigkeit von Φ.) 2Die obige Folgerung (b) kann man so interpretieren, daß die Vorgabe einer Transformationsgruppe(G, φ) gleichbedeutend mit der Festlegung eines Gruppenhomomorphismusϕ von G nach S(M) ist. Jeder Gruppenhomomorphismus ϕ : G −→ S (M) induziertnämlich durchφ(x, m) :=ϕ(x)(m),x∈ G, m ∈ M,eine Wirkung von φ von G auf M.Definition 6.4Sei M eine nichtleere Menge. Dann heißt jede Untergruppe von S(M) eineSymmetrie-Gruppe.2Zur Erinnerung: Eine nichtleere Teilmenge U von G heißt Untergruppe von (G, •), fallsmit x, y ∈ U stets auch xy −1 ∈ U gilt.