Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 138Invarianz und Symmetrie sind Leitprinzipien mathematischer Ästhetik. Sie sind komplementäreBegriffe: Etwas ist in dem Maße symmetrisch, wie es invariant (unveränderlich) ist, wenn es einergewissen Transformation unterworfen wird. Einsteins Relativitätstheorie resultiert aus der Vorstellung,daß die physikalischen Gesetze invariant unter der sogenannten Lorentz–Transformation seinsollten. A. Einstein (1879 – 1955) dachte sogar daran, seine Relativitätstheorie Invariantentheoriezu nennen.Werden wir nun mathematisch. Wir haben die Begriffe Symmetrietransformation, Invarianzund Struktur zu erläutern.Definition 6.1Sei (G, •) eine Gruppe mit Einselelement e und sei M eine nichtleere Menge.Eine Wirkung von G auf M ist eine Abbildung φ : G × M −→ M mitφ(e, m)=m, φ(x, φ(y, m)) = φ(x • y, m)für alle x, y ∈ G, m ∈ M. (G, φ) heißt dann Transformationsgruppe auf M undman sagt: G wirkt von links auf M (durch φ).2Folgerung 6.2Sei (G, φ) Transformationsgruppe auf M.(a) Für jedes x ∈ G ist die Abbildungφ x : M ∋ m ↦−→ φ(x, m) ∈ Mbijektiv, d.h. φ x ∈ S(M).(b) Die Abbildung˜φ : G ∋ x ↦−→ φ x ∈ S(M)ist ein Gruppenhomomorphismus, d.h.Beweis:Zu (a) :Seix ∈ G.Injektivität: Seien m, m ′x −1 von x :˜φ(x • y) =˜φ(x) ◦ ˜φ(y),x,y∈ G.∈ M mit φ(x, m) = φ(x, m ′ ). Dann gilt mit dem Inversenm = φ(e, m) =φ(x −1 • x, m) =φ(x −1 ,φ(x, m)) == φ(x −1 ,φ(x, m ′ )) = φ(x −1 • x, m ′ )=φ(e, m ′ )=m ′ .Surjektivität: Sei m ∈ M. Dann giltm = φ(e, m)=φ(x • x −1 ,m)=φ(x, φ(x −1 ,m)) == φ(x, m ′ ) mit m ′ := φ(x −1 ,m).