Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 137betreffenden Gruppe invariant sind. Als Beispiel haben wir die ”lineare Geometrie“ in derGestalt der Theorie der Vektorräume betrieben; die Transformationsgruppe ist hier dieallgemeine lineare Gruppe (siehe unten). Die nun zur Sprache kommenden Geometrienfügen neue Strukturen zur Struktur der Vektorräume mit ihren linearen Abbildungen hinzu.Eng verknüpft mit der Geometrie ist der Begriff der Symmetrie.Symmetrie, ob man ihre Bedeutung weit oder eng faßt, ist eine Idee, vermöge derer der Menschdurch Jahrtausende seiner Geschichte versucht hat, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zubegreifen und zu schaffen.H.Weyl, 1885–1955.Vor dem eigentlichen, mathematisch gefaßten Begrif der Symmetrie sollen einige bekannteBeispiele von Symmetrien erwähnt werden:Spiegelsymmetrie: Es handelt sich um die einfachste“ Symmetrie, für den Nichtfachmannmit der Symmetrie allgemein gleichgesetzt. Invariant unter Achsenspiegelung sind”etwa Strecken, Quadrate und Kreise in passender Lage.Allgemeine diskrete Symmetrien: Hierher gehören Symmetriebetrachtungen von/anregelmäßigen Figuren in IR 2 oder Körpern in IR 3 . Ebenfalls hierher gehören Symmetrienvon Ornamenten und Parkettierungen.Höhere Geometrien: Hierunter faßt man Symmetriebetrachtungen, die sich bevorzugtschon in abstrakten Strukturen bewegen. Etwa: Ähnlichkeitstransformationen der euklidischenEbene, Drehungen des euklidischen Raumes IR n , Transformationsgruppen in derQuantenmechanik (Spin, ...).Als geeignetes mathematisches Werkzeug zur Beschreibung von Symmetrien erweist sichder Gruppenbegriff. Der Zusammenhang zwischen dem Gruppenbegriff und dem Begriffder Symmetrie ist der folgende: Symmetrie im mathematischen Sinne wird zunächst durchSymmetrietransformationen beschrieben. Eine Symmetrietransformation eines Objektesist eine Transformation, d.h. eine bijektive Abbildung auf diesem Objekt, welche dasObjekt im Sinne einer vorher festgelegten Struktur nicht verändert: das Objekt ist bezogenauf die Struktur invariant (unveränderlich) unter der Transformation. Zum Beispielkann es sich um eine algebraische Struktur wie Gruppenstruktur oder Vektorraumstrukturhandeln. In diesem Falle heißen solche strukturerhaltenden Transformationen Automorphismen.Wichtig ist, daß die Symmetrietransformationen eines Objektes mit vorgegebener Struktureine Gruppe bilden. Diese Gruppe ist umso größer je symmetrischer das Objekt ist.Im Falle der Vektorraumstruktur etwa ist diese Symmetriegruppe die allgemeine lineareGruppe (siehe unten).