Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 6GeometrieGeometrie ist die mathematische Behandlung anschaulich motivierter Strukturen. Hierverschaffen wir uns lediglich einen Überblick über verschiedene Ausprägungen von Geometrie:Euklidische, affine, projektive Geometrie.6.1 Geometrie, Symmetrie, InvarianzEs lassen sich drei Entwicklungsphasen der Geometrie erkennen:Die erste Phase führte zur synthetischen Geometrie. Hier werden die Strukturen ohneBezüge zu anderen Disziplinen direkt oder rein geometrisch“ in einer eigenen Axiomatik”eingeführt, in der nur mengentheoretisch deutbare Operationen ( Verbinden“,” ” Schneiden“)vorkommen.DiezweitePhaseführte zur Analytischen Geometrie, in der man sich der Sprache derlinearen Algebra bedient. Punkte und geometrische Figuren der synthetischen Geometriewerden durch Koordinaten bzw. Gleichungen in den Koordinaten gegeben. Die Resultatewerden erzielt durch algebraisches Rechnen mit den Gleichungen. In ihrer modernenFortentwicklung ist die analytische Geometrie zu dem geworden, was heute mit der AlgebraischenGeometrie umschrieben wird.Die dritte Phase läßt sich schließlich in der Entwicklung der Differentialgeometriefestmachen. Hier bedient man sich auch der Sprache der Analysis, und zwar u.a. zur Beschreibungvon Tangenten an Kurven und Flächen, Arbeitsmittel sind Ableitung“ und”Integral“ . Für die mathematische Physik ist dieser Entwicklungszweig der Geometrie”besonders fruchtbar (Hamiltonsche Mechanik, Relativitätstheorie).Spezielle Geometrien sind die euklidische Geometrie, dieaffine Geometrie und dieprojektive Geometrie. Zur Geometrie wird man im allgemeinen auch die Topologieoder aber zumindest Teile der algebraischen Topologie und Differentialtopologie zählen.Auf eine Axiomatik der Geometrie gehen wir nicht ein. Als Leitlinie bevorzugen wir dieEinordnung unter das Erlanger Programm von F. Klein. Die geometrischen Strukturenwerden danach geordnet, welche Transformationsgruppen mit ihnen verträglich sind. DasZiel einer bestimmten Geometrie ist dann, solche Sätze aufzustellen, die gegenüber der136