Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 135Definition 5.40Sei X ein IK – Vektorraum und sei der Endomorphismus L : X −→ X split überIK . Seien λ 1 ,...,λ r ∈ IK die Eigenwerte von L mit Vielfachheiten β 1 ,...,β r . Dannheißtdie Determinante von L.det(L) :=r∏i=1λ β ii2Folgerung 5.41Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Dann sind äquivalenta) L ist injektiv.b) L ist bijektiv.c) det(L) ≠0.Beweis:Zu a) ⇐⇒ b) : Siehe Folgerung 4.19Zu a) ⇐⇒ c) : Offensichtlich.Lemma 5.42Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Dann ist das charakteristische Polynom χ Lvon Lgegeben durchχ L(z) :=det(zid X − L),z ∈ IK .Beweis:Seien λ 1 ,...,λ r ∈ IK die paarweise verschiedenen Eigenwerte von L mit Vielfachheitenβ 1 ,...,β r . Also sind die Eigenwerte von zid X − L gegeben durch z − λ 1 ,...,z− λ r mitVielfachheiten β 1 ,...,β r . Also giltm∏det(zid X − L) = (z − λ j ) β j.j=1Bemerkung 5.43Wir wissen nun, daß sich die Eigenwerte einer Matrix A ∈ IK n,n aus der Polynomgleichungdet(zid X − A) =0berechnen lassen, vorausgesetzt, das Minimalpolynom ist split über IK . Diese Gleichungentspricht der Gleichung, an die wir schon im Anschluß an die Definition der Eigenwerteüber die Gaußsche Elimination herangeführt hatten. Im Kapitel über Determinanten werdenwir auf die “lästige“ Voraussetzung, daß A split über IK ist, auf der Berechnungsseiteverzichten können. 2