Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 134Aus dem Kapitel über Euklidische Vektorräume nehmen wir vorweg:Definition 5.39(a) Die Abbildung< ·, · > : ′C n ×′C n ∋ (x, y) ↦−→ ¯x t y ∈ ′Cheißt das euklidische Skalarprodukt auf ′C n .(b) Zwei Vektoren x, y ∈ ′C n heißen orthogonal, falls =0gilt.2Die Einschränkung des euklidischen Skalarprodukts auf IR n × IR n bezeichnen wir als euklidischesSkalarprodukt in IR n . Es ist damit klar, daß wir von Orthgogonalität auch inIR n reden können.Betrachte nun den Fall, daß eine Matrix A ∈ IR n,n , aufgefaßt als lineare AbbildungT A : IR n ∋ x ↦−→ Ax ∈ IR n ,nur reelle Eigenwerte {λ 1 ,...,λ n } besitzt und eine Basis von Eigenvektoren {x 1 ,...,x n }in IR n bestimmt. Sind diese Eigenvektoren paarweise orthogonal, dann ist das “Volumen“des Quadersn∑Q := { a j x j |0 ≤ a j ≤ 1, 1 ≤ j ≤ n}j=1gleich⎛ ⎞1/2n∏⎝ (x j ) t x j ⎠ ,j=1während das Volumen des Bildes⎧⎫⎨ n∑⎬L(Q) := a⎩ j L(x j )|0 ≤ a j ≤ 1, 1 ≤ j ≤ n⎭von Q unter L sich alsj=1⎛⎞1/2n∏⎝ λ j (x j ) t λ j x j ⎠j=1ergibt. Also ist der “Streckungsfaktor“ das Produktwir zum Anlaß für 2n ∏j=1|λ j |. Diese Beobachtung nehmen2 Im Abschnitt 5.2 haben wir uns von dem Aufsatz “Down with determinants!“ von S. Axler ausAmerican Math. Monthly 1995 leiten lassen.