Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 133offenbar eine ′C – lineare Abbildung definiert. Wählen wir eine Basis in X, Y und betrachtenwir diese Basen auch als Basen in X ′C ,Y ′C (siehe oben), so stimmen die Matrixdarstellungenvon L und der Komplexifizierung L ′C überein.Sei X ein Vektorraum über IR und sei L : X −→ X eine IR – lineare Abbildung mitKomplexifizierung L ′C : X ′C −→ X ′C . Ist λ ∈ IR ein Eigenwert von L ′C ,dannistλ auchein Eigenwert von L, dennausL ′C (x + iy) =λ(x + iy)folgtLx = λx, Ly = λy.Ist λ = α + iβ ∈ ′C ein Eigenwert von L ′C , dann ist auch λ := α − iβ ∈ ′C ein Eigenwertvon L ′C ; genauer gilt für k ∈ IN(L ′C − λid X ) k (x + iy) =θgenau dann, wenn(L ′C − λid X ) k (x − iy) =θgilt.Man beweist dies mit vollständiger Induktion. Ist also λ ∈ ′C ein Eigenwert von L ′C mitVielfachheit β, so ist die Vielfachheit von λ ∈ ′C auch β. Da die Summe der Vielfachheitender Eigenwerte von L ′C die Dimension von X ′C also, auch von X ergibt, besitzt L, fallsdie Dimension von X ungerade ist, einen Eigenwert in IR .Folgerung 5.38Sei X ein IR – Vektorraum und sei L : X −→ X IR – linear. Ist die Dimensionvon X ungerade, dann besitzt L einen reellen Eigenwert.Beweis:Siehe obige Herleitung. .Das Minimalpolynom und charakteristische Polynom von L sind definiert als Minimalpolynombzw. charakteristisches Polynom der Komplexifizierung L ′C von L. Beide Polynomehaben offenbar reelle Koeffizienten. Da ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizientenstets eine reelle Nullstelle besitzt – dies ist eine einfache Folgerung aus demZwischenwertsatz für stetige Funktionen –, folgt das Resultat aus Folgerung 5.38 erneut.5.5 Einführung der DeterminanteAbschließend führen wir auf die nächsten Kapitel hin, in denen wir uns mit Determinantenin ihrer algebraischen Darstellung beschäftigen wollen.Bezeichnung: Zu x =(x 1 ,...,x n ) ∈ ′C n setzen wir ¯x := (¯x 1 ...,¯x n ), wobei mit ū die zuu komplex konjugierte Zahl gemeint ist.