Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 132Da Bild(B p ) ein echter Teilraum von IK n,1 ist, besitzt nach Induktionsannahme die AbbildungG : Bild(B p ) −→ Bild(B p )eine Jordanbasis v 1 ,...,v s . Diese Jordanbasis v 1 ,...,v s stellt nun zusammen mit den Vektorenaus β p ,...,β 1 eine Jordanbasis in X = IK n,1 dar, da IK n,1 = Bild(B p ) ⊕ Kern(B p )gilt; siehe Aussage über G.Damit ist der Induktionsschluß abgeschlossen und der Beweis erbracht.Bemerkung 5.37Wir haben oben den “kurzen“ Beweis der Jordanschen Normalform nach H. Väliaho 1 wiedergegeben.Dies ist ein gewisser Endpunkt in einer Reihe von “elementaren“ Beweisenzur Jordanschen Normalform.Die Jordansche Normalform J einer Matrix A ∈ IK n,n ist bis auf die Reihenfolge derJordanblöcke in J eindeutig bestimmt. Wir verzichten auf den Beweis. 25.4 KomplexifizierungBisher haben wir an entscheidenden Stellen stets vorausgesetzt, daß die vorliegende Abbildungsplit war; im Skalarkörper ′C ist dies sichergestellt. Wir wollen nun einen “Trick“beschreiben, der uns hilft, entsprechende Resultate auch für den Skalarkörper IR abzuleiten.Sei X ein Vektorraum über dem Skalarkörper IR . Wir definieren einen Vektorraum X ′Cüber dem Skalarkörper ′C , der die Komplexifizierung von X genannt wird, durchX ′C := {x + iy|x, y ∈ X},wobei Addition und skalare Multiplikation folgendermaßen erklärt sind:(x + iy)+(x ′ + iy ′ ) := (x + x ′ )+i(y + y ′ ),x,y,x ′ ,y ′ ∈ X,(α + iβ)(x + iy) := (αx − βy)+i(αy + βx),α,β ∈ IR,x,y ∈ X(Eigentlich sollten wir X ′C zunächst als Tupelraum erklären wie dies auch bei der Einführungvon ′C ausgehend von IR geschehen ist. Die Vorgehensweise ist uns aber schon vertraut.)Wir “finden“ den Vektorraum X wieder als TeilraumU := {x + iy|x ∈ X, y = θ}.Ist nun {x 1 ,...,x m } eine Basis des reellen Vektorraumes X, soistoffenbar{x 1 ,...,x m }auch eine Basis des komplexen Vektorraums X ′C , d.h. dim IR X =dim ′C X ′C .Seien X, Y Vektorräume über IR und seien X ′C ,Y ′C die Komplexifizierungen. Ist dannL : X −→ Y eine IR – lineare Abbildung, dann wird durchL ′C : X ′C ∋ x + iy ↦−→ L(x)+iL(y) ∈ Y ′C1 H. Väliaho: An elementary approach to the Jordan form of a matrix, Amer. Math. Monthly 93 (1986),711 – 714