Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 1295.3 Jordansche NormalformWir wollen nun eine Normalform beweisen, die die gewünschte Verschärfung der Triangulierungdarstellt. Dazu zunächst eineBezeichnung: Sei IK ein Körper, sei σ ∈ IK . Eine Matrix⎛⎞σ 1 0 ··· 00 σ 1.. . .J k (σ) :=. . . ... ... . 0∈ IK k,k⎜⎝ ... ... ⎟ . 1 ⎠0 ··· ··· 0 σmit J 1 (σ) :=(σ) ∈ IK 1,1 wird als Jordanblock bezeichnet.in der Diago-Eine Matrix J := diag(J k1 , ..., J kr ) ∈ IK n,n mit Jordanblöcken J k1 ,...,J krnale wird Jordanmatrix genannt.Die Jordansche Normalform stellt einen Höhepunkt der Linearen Algebra dar. In seinen “Traitédes substitutions“ hat C. Jordan (1838 – 1922) sich mit der Frage beschäftigt, wann zwei Matrizenmit Einträgen aus ZZ p kommutieren. Dazu führte er eine Normalform von Matrizen ein. Späterübertrug er die Methode auf ′C und wendete die Normalform bei linearen Differentialgleichungenan. (Wir werden dies später auch tun.)Definition 5.35Sei A ∈ IK n,n .Aheißt split über IK , wenn der EndomorphismusT A : X := IK n,1 ∋ x ↦−→ Ax∈ IK n,1 =: Yschreiben wir kurz µ A und nennen µ A das Minimalpo-split über IK ist. Statt µ TAlynom von A.2Der folgende Satz stellt die Jordansche Normalform bereit:Satz 5.36Sei A ∈ IK n,n split über IK , dann gibt es eine nichtsinguläre Matrix P ∈ IK n,n ,sodaß J := P −1 AP eine Jordanmatrix ist.Beweis:Der Satz ist offenbar bewiesen, wenn wir in IK n,1 eine Basis finden können, so daß dielineare AbbildungT A : X := IK n,1 ∋ z ↦−→ Az ∈ IK n,1 =: Yvon der wir wissen, daß sie split über IK ist, bzgl. dieser Basis (in X und Y )eineJordanmatrixals darstellende Matrix besitzt. Wir beweisen die Existenz einer solchen Basis