Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 124Satz 5.23Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Seien λ 1 ,...,λ r ∈ IK die paarweise verschiedenenEigenwerte von L, seien H(λ 1 ),...,H(λ r ) die zugehörigen verallgemeinertenEigenräume und seien α 1 ,...,α r ∈ IN die kleinsten Zahlen mitSei das Polynom p erklärt alsDann gilt:(L − λ j id X ) α j(v) =θ für alle v ∈ H(λ j ), 1 ≤ j ≤ r.r∏p(z) := (z − λ j ) α j,z ∈ IK .j=1(a) Der Grad von p ist höchstens gleich der Dimension von X.(b) p ist das Minimalpolynom µ L von L.(c) Ist q ein Polynom mit q(L) =Θ, dann ist µ L ein Teiler von q.Beweis:Zu (a) :Sei 1 ≤ j ≤ r. Wende (a) aus Lemma 5.12 auf X ′ := H(λ j ),L ′ := L |X ′ unter Beachtungvon (b) aus Lemma 5.12 an. Dann ist H(λ j )=Kern(L ′ − λ j id X ′) n′ mit n ′ =dimH(λ j ).Also ist α j ≤ n ′ =dimH(λ j ).∑Nach Satz 5.21 gilt X = H(λ 1 ) ⊕···⊕H(λ r ), alsor α j ≤ dim IK X.Als Vorbereitung zu (b) und (c) zeigen wir:Ist q ≠ θ ein Polynom, das über IK in Linearfaktoren zerfällt, mit q(L) =Θ, dannistpein Teiler von q.Sei also q ≠ θ ein Polynom mit q(L) =Θ, das über IK in Linearfaktoren zerfällt. Esgenügt zu zeigen, daß für jedes j ∈{1,...,r} das Polynom (z − λ j ) α jein Teiler von q ist.Sei j ∈{1,...,r}. Da q über IK in Linearfaktoren zerfällt, läßt sich q so schreiben:m∏q(t) =c (z − ξ l ) γ l(z − λ j ) γ ,z ∈ IK ;l=1hierbei sind c, ξ 1 ,...,ξ m ∈ IK ,γ 1 ,...,γ m ∈ IN ,γ ∈ IN 0 ,c≠0.O.E können wir ξ 1 ,...,ξ m ,λ j als paarweise verschieden annehmen.Sei v ∈ H(λ j ). Dann ist nach Satz 5.21 (L − λ j id X ) γ (v) ∈ H(λ j ) und wir habenm∏c (L − ξ l id X ) γ l(L − λ j id X ) γ (v) =q(L)(v) =θ.l=1Dam∏c (L − ξ l id X ) γ l| H(λj )l=1injektiv ist, folgt (L − λ j id X ) γ (v) =θ. Da v ∈ H(λ j ) beliebig war, gilt nach Konstruktionvon α j nun α j ≤ γ.j=1