Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 123Folgt aus der Definition von verallgemeinerten Eigenvektoren und aus Lemma 5.12.Zu (d) :Sei λ ′ ein Eigenwert von L ′ := L| X ′,X ′ := H(λ j ).Sei x ∈ H(λ j ). Dann giltund(L ′ − λ j id X )(x) =(L − λ j id X )(x) =(λ ′ − λ j )x(L ′ − λ j id X ) k (x) =(L − λ j id X ) k (x) =(λ ′ − λ j ) k xfür jedes k ∈ IN . Da x ein verallgemeinerter Eigenvektor von L zum Eigenwert λ j ist,gibt es k j ∈ IN mit (L − λ j id X ) k j(x) =θ. Also (λ ′ − λ j ) k jx = θ, d.h. λ ′ = λ j .Beispiel 5.22Sei⎛⎜A := ⎝−2 1 11 −2 11 1 −2⎞⎟⎠ ∈ IR 3,3 .In der Standardbasis von IR 3,1 ist bekanntlich A die Matrixdarstellung des EndomorphismusL : IR 3,1 ∋ x ↦−→ Ax ∈ IR 3,1 .Sicherlich sind A 0 und A 1 linear unabhängig in IR 3,3 . Weiter istA 2 :=⎛⎜⎝6 −3 −3−3 6 −3−3 −3 6Somit gilt A 2 = −3A. Also ist das Minimalpolynom µ A von A, genauer von L, gegebendurch µ A (z) :=z 2 +3z =(z +3)z,z∈ IR . Als Eigenwerte lesen wir ab: λ 1 =0,λ 2 = −3 .Der Hauptraum H(λ 1 ) wird erzeugt durch den Eigenvektorx 1 :=⎛⎜⎝111⎞⎟⎠ .⎞⎟⎠ .Der Hauptraum H(λ 2 ) wird erzeugt durch die Eigenvektorenx 2 :=⎛⎜⎝01−1⎞⎟⎠ ,x 3 :=Als Konsequenz wissen wir, daß A auf dieser Basis sehr einfach operiert. 2⎛⎜⎝10−1⎞⎟⎠ .