Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 122folgt r(L ′ )=Θ und wegen deg(r) < deg(µ L ′) schließlich r = θ. Also ist µ L ′µ L und L ′ ist split über IK .ein Teiler vonLemma 5.20Sei X endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der Endomorphismus L :X −→ X split über IK . Dann gilt:X = L({H(λ)|λ Eigenwert von L})Beweis:Sei n := dim IK X. Der Beweis erfolgt mittels Induktion nach n.Der Induktionsbeginn n = 1 ist trivial.Sei n>1. Sei λ ein Eigenwert von L. Ein Eigenwert existiert, da das Minimalpolynomüber IK in Linearfaktoren zerfällt. BetrachteL ′ : X ′ := Bild(L − λid X ) n ∋ x ↦−→ L(x) ∈ X ′ .Jeder verallgemeinerte Eigenvektor von L ′ ist auch ein verallgemeinerter Eigenvektor vonL und L ′ ist split über IK nach Lemma 5.19. Nach Induktionsvoraussetzung giltX ′ = L({H(λ ′ )|λ ′ Eigenwert von L ′ }).Da jeder Vektor in Kern (L − λid X ) n ein verallgemeinerter Eigenvektor von L ist, ist derInduktionsschluß abgeschlossen.Nun setzen wir die bisherigen Ergebnisse zu einem ersten Hauptergebnis zusammen. Offenbleibt noch die Konstruktion des Minimalpolynoms.Satz 5.21Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Seien λ 1 ,...,λ r ∈ IK die paarweise verschiedenenEigenwerte von L und seien H(λ 1 ),...,H(λ r ) die zugehörigen verallgemeinertenEigenräume. Dann gilt:(a) X = H(λ 1 ) ⊕···⊕H(λ r ).(b) L(H(λ j )) ⊂ H(λ j ); 1 ≤ j ≤ r.(c) (L − λ j id X )| k jH(λ j ) = θ für ein k j ∈ IN ;1≤ j ≤ r.(d) L| H(λj ) hat den einzigen Eigenwert λ j ;1≤ j ≤ r.Beweis:Zu (a) :Folgt aus Lemma 5.13 und Lemma 5.20.Zu (b) :Schon in Lemma 5.12 gezeigt.Zu (c) :