Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 121Definition 5.18Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum, sei L : X −→ X ein Endomorphismus.L heißt split über IK genau dann, wenn das Minimalpolynom µ Lvon L über IK in Linearfaktoren zerfällt, d.h. wenn es λ 1 ,...,λ r ∈ IK gibt mitµ L (z) =(z − λ 1 ) ···(z − λ r ) ,z∈ IK .2Wir wissen auf Grund des Fundamentalsatzes der Algebra, daß jeder Endomorphismusüber ′C split ist.Die Frage, ob ein Endomorphismus split über IK ist, kann auch dahingehend abgewandelt werden,ob es zu einem Polynom p ∈ IK [x] stets einen Körper IK ′ derart gibt, daß das gegebene Polynomüber diesem Körper in Linearfaktoren zerfällt. Dies kann positiv beantwortet werden. Der “kleinste“Körper, der dies leistet, heißt Zerfällungskörper. Die damit zusammenhängenden Fragen mündenein in die Theorie der endlichen Körpererweiterungen, die von E. Galois (E. Galois, 1811 – 1832)in seiner aufregenden Theorie erfaßt wurde.Lemma 5.19Sei X endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der Endomorphismus L :X −→ X split über IK . Sei λ ∈ IK ein Eigenwert von L. Dann gilt:(a) X = Kern(L − λid X ) n ⊕ Bild(L − λid X ) n = H(λ) ⊕ Bild(L − λid X ) n .(b) Ist L split über IK , dann ist auchL ′ : X ′ := Bild(L − λid X ) n ∋ x ↦−→ L(x) ∈ X ′split über IK .Beweis:Zu (a).Sei x ∈ Kern(L − λid X ) n ∩ Bild(L − λid X ) n .Dannist(L − λid X ) n (x) =θ und es gibty ∈ X mit (L − λid X ) n (y) =x. Daraus folgt (L − λid X ) 2n (y) =θ. Aus Lemma 5.12 folgt(L − λid X ) n (y) =θ, also x = θ.Dies zeigt Kern(L − λid X ) n ∩ Bild(L − λid X ) n = θ. Aus der Dimensionsformel 4.39 folgtX = Kern(L − λid X ) n ⊕ Bild(L − λid X ) n .Beachte noch Kern(L − λid X ) n = H(λ) (siehe Lemma 5.12).Zu (b).Ist deg(µ L ′) ≥ deg(µ L ), dann ist µ L ′ = µ L auf Grund der Definition von µ L ′.Ist deg(µ L ′) < deg(µ L ), dann erhalten wir mit Division mit Restµ L = µ L ′f + rmit Polynomen f,r, wobei deg(r) < deg(µ L ′)ist.AusΘ = µ L (L ′ )=µ L ′(L ′ )f(L ′ )+r(L ′ )=r(L ′ )