Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 120Definition 5.15Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei L : X −→ X einEndomorphismus. Das nach Lemma 5.14 eindeutig bestimmte Polynomx k +k−1 ∑l=0a l x l ∈ IK [x] mit L k +k−1 ∑l=0a l L l = Θheißt das Minimalpolynom von L; wir schreiben dafür µ L .2Satz 5.16Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei L : X −→ X einEndomorphismus mit Minimalpolynom µ L . Äquivalent für λ ∈ IK sind:(a) λ ist Eigenwert von L.(b) λ ist Nullstelle von µ L , d.h. µ L (λ) =0.Beweis:Zu (a) =⇒ (b).Sei λ Eigenwert von L mit Eigenvektor x. Dann gilt θ = µ L (L)(x) =µ L (λ)x, und dax ≠ θ ist, haben wir µ L (λ) =0.Zu (b) =⇒ (a).Sei λ ∈ IK mit µ L (λ) =0. Division mit Rest zeigt µ L (z) =(z −λ)q(z) mit einem Polynomq mit deg(q) < deg(µ L ). Wegen θ = µ L (L) =(L − λid X ) ◦ q(L) folgt q(L) ≠ θ, da sonstµ L nicht Minimalpolynom wäre. Also gibt es x ′ ∈ X mit x := q(L)(x ′ ) ≠ θ. Daraus folgtAlso ist x ein Eigenvektor zu λ.θ =(L − λid X )q(L)(x ′ )=(L − λid X )x.Beispiel 5.17Betrachte auf ′C 2,1 die lineare Abbildung L, die durch die Matrix( )2 1A := ∈ ′C 2,20 1vermittelt wird. Sie hat die Eigenwerte λ =2,λ =1. Mit Lemma 5.16 schließt mandaraus, daß für das Minimalpolynom µ L von L gilt:µ L (z) =(z − 2)(z − 1) q(z) mit einem Polynom q.Man stellt fest, daß (A − 2E)(A − E) =Θ gilt. Also ist q(z) =1. 2Wir haben schon gesehen, daß die Eigenschaft, daß Eigenwerte im “gewählten“ Skalarkörperexistieren, wesentlich bei der Frage der Diagonalisierbarkeit ist. Hier ist die entsprechendeBegriffsbildung.