Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 1195.2 Das MinimalpolynomZunächst eine Verabredung.Sei X ein IK – Vektorraum und sei L ∈ Hom IK (X, X). Dann ist zu jedem Polynom∑p = n a i x i ∈ IK [x] eine lineare Abbildung p L : X −→ X erklärt durchi=0n∑p L (x) := a i L i (x) ,x∈ X.i=0Wir schreiben dafür kurz p(L) , d.h. p(L)(·) :=p L (·) . (Wir haben hier den Standpunkt“Polynomfunktion“ eingenommen.)Lemma 5.14Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei L : X −→ X einEndomorphismus.Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen k ∈ IN ,a 0 ,...,a k−1 ∈ IK mita 0 id X + a 1 L + ···+ a k−1 L k−1 + L k = Θ ,q(L) ≠ Θfür alle Polynome q ∈ IK [x]\{θ} mit deg(q)