Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 117Betrachte auf ′C 2,1 die lineare Abbildung, die durch die Matrix( )0 1A := ∈ ′C 2,20 0vermittelt wird. Sie hat nur den Eigenwert λ = 0 und die zugehörigen Eigenvektorenspannen einen eindimensionalen Vektorraum auf, nämlich E := L({e 1 }). Wir beobachtenaber, daß für e 2 gilt:(A − λid) 2 (e 2 )=θ.e 2 ist Eigenwert in einem weiteren Sinne und e 1 ,e 2 stellt eine Basis von IK 2 dar. 2Definition 5.11Sei X ein IK –Vektorraum, sei L : X −→ X ein Endomorphismus und sei λ ∈ IKein Eigenwert von L. Ein Vektor x ∈ X\{θ} heißt verallgemeinerter Eigenvektorzum Eigenwert λ, falls es ein k ∈ IN gibt mit(L − λid X ) k (x) =θ.Wir setzen H(λ) :=L({x ∈ X|x verallgemeinerter Eigenvektor zu λ}) und nennenH(λ) den zu λ gehörenden verallgemeinerten Eigenraum oder Hauptraum. 2Lemma 5.12Sei X ein n – endlichdimensionaler IK –Vektorraum, L : X −→ X Endomorphismusund sei λ ∈ IK ein Eigenwert von L. Dann gilt:(a) H(λ) =Kern(L − λid X ) n .(b) L(H(λ)) ⊂ H(λ), d.h. H(λ) ist invariant unter L.Beweis:Zu (a).Offenbar ist Kern(L − λid X ) n ⊂ H(λ).Sei x ein verallgemeinerter Eigenvektor. Nach Definition gibt es k ∈ IN mit(L − λid X ) k (x) =θ.Sei k ∈ IN mit dieser Eigenschaft schon miminal gewählt, d.h.(L − λid X ) j (x) ≠ θ, 0 ≤ j ≤ k − 1.Sindx, (L − λid X )(x),...,(L − λid X ) k−1 (x)linear unabhängig, dann ist k ≤ n und x ∈ Kern(L − λid X ) n ist gezeigt, da nunx ∈ Kern(L − λid X ) k ⊂ Kern(L − λid X ) n